洛谷 P1401 城市
写在前面
今天来水主题库里的有水分的紫题,随便一翻竟然找到宝了。
小清新二分 + 网络流。
算法思路
考虑到题目中限制的是最大边权,要求最大边权最小,那么很容易想到二分答案。
单调性的证明:最大边权是对可行的边的一个限制,因此这个值越大,对可行的边的限制放的就越宽,可供选择的边就不会变少。凑齐 \(t\) 条边的机会不会变小。满足单调性。
考虑到要找到 \(t\) 条可行路径,可以抽象成为在所有边权的容量都为 \(1\) 的情况下,最大流不小于 \(t\)。
求解最大流这里我使用的 dinic 算法。
dinic 算法的时间复杂度为 \(\mathcal O(n^2m)\),实际上远远跑不满,而且它有各种虽然不影响渐进时间复杂度,但是能够大大提高实际运行效率的优化和剪枝。因此实际运行效率极高。
Tips
- 注意存双向边、数组越界和每次清空。
Code
#include <bits/stdc++.h>
namespace Basic {
template <typename Temp> inline void read(Temp & res) {
Temp fh = 1; res = 0; char ch = getchar();
for(; !isdigit(ch); ch = getchar()) if(ch == '-') fh = -1;
for(; isdigit(ch); ch = getchar()) res = (res << 3) + (res << 1) + (ch ^ '0');
res = res * fh;
}
}
using namespace Basic;
using namespace std;
const int Maxn = 2e2 + 5;
const int Maxm = 8e4 + 5;
int n, m, t, x, y, z;
int l = 0, r = 0x7fffffff, mid, ans;
struct e {
int to, nxt, f;
} b[Maxm];
int head[Maxn], ecnt;
inline void add(int u, int v, int fl) {b[++ecnt] = (e) {v, head[u], fl}; head[u] = ecnt;}
struct edg {
int v_1, v_2, length;
} b0[Maxm];
queue<int> q;
int dep[Maxn], cur[Maxn];
bool bfs() {
memset(dep, 0, sizeof(dep));
while(!q.empty()) q.pop();
q.push(1); dep[1] = 1;
while(!q.empty()) {
int tnow = q.front(); q.pop();
for(register int i = head[tnow]; i; i = b[i].nxt) {
int tto = b[i].to, tf = b[i].f;
if((dep[tto]) || (!tf)) continue;
dep[tto] = dep[tnow] + 1;
q.push(tto);
if(tto == n) return true;
}
}
return false;
}
int dfs(int t, int flow) {
if(t == n) return flow;
int rest = flow;
for(; cur[t] && rest; cur[t] = b[cur[t]].nxt) {
int tto = b[cur[t]].to, tf = b[cur[t]].f;
if((dep[tto] != dep[t] + 1) || (!tf)) continue;
int res = dfs(tto, min(tf, rest));
rest -= res; b[cur[t]].f -= res; b[cur[t] ^ 1].f += res;
if(!res) dep[tto] = 0;
if(!rest) return flow;
}
return flow - rest;
}
bool check(int lim) {
int Maxflow = 0;
memset(head, 0, sizeof(head)); ecnt = 1;
for(register int i = 1; i <= m; ++i) {
if(b0[i].length <= lim) {
add(b0[i].v_1, b0[i].v_2, 1);
add(b0[i].v_2, b0[i].v_1, 1);
}
}
while(bfs()) {
memcpy(cur, head, sizeof(cur));
Maxflow += dfs(1, 0x7fffffff >> 1);
}
return Maxflow >= t;
}
int main() {
read(n); read(m); read(t);
for(register int i = 1; i <= m; ++i) {read(b0[i].v_1); read(b0[i].v_2); read(b0[i].length);}
while(l <= r) {
int mid = (l + r) >> 1;
if(check(mid)) ans = mid, r = mid - 1;
else l = mid + 1;
}
printf("%d", ans);
return 0;
}
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