【poj 2891】Strange Way to Express Integers(数论--拓展欧几里德 求解同余方程组 模版题)
题意:Elina看一本刘汝佳的书(O_O*),里面介绍了一种奇怪的方法表示一个非负整数 m 。也就是有 k 对 ( ai , ri ) 可以这样表示——m%ai=ri。问 m 的最小值。
解法:拓展欧几里德求解同余方程组的最小非负整数解。(感觉挺不容易的......+_+@)
先看前2个关系式: m%a1=r1 和 m%a2=r2 →
m-a1*x=r1 和 m-a2*y=r2 →
m=a1*x+r1 和 m=a2*y+r2
a1*x-a2*y=r2-r1 →
于是用拓展欧几里德求得一个满足这2个关系式/方程联立的最小非负整数解 (x',y')。
那么存在一个: m'-a1*x'=r1 和 m'-a2*y'=r2 →
m'=a1*x'+r1=a2*y'+r2 →
m' %a1=m%a1 和 m' %a2=m%a2 →
m' %lcm(a1,a2)=m%lcm(a1,a2) →
m=m'+k*lcm(a1,a2) →
m=(a1*x'+r1)+lcm(a1,a2)*k →
m= r' + a' *x →
......
m=ak*y'+rk+lcm(ak-1,ak)*k →
而又 m=ak*y'+rk , r'=ak*y'+rk
所以 m=r'
接着继续将这个式子与 m=a3*y+r3 联立,同样地得到一个新的方程,再一直继续联立下去,由于 x 保证了尽量下,最后的 r' 就是尽量小的答案。
1 #include<cstdio>
2 #include<cstdlib>
3 #include<cstring>
4 #include<iostream>
5 using namespace std;
6 typedef long long LL;
7
8 LL mabs(LL x) {return x>0?x:-x;}
9 LL exgcd(LL a,LL b,LL& x,LL& y)
10 {
11 if (!b) {x=1,y=0; return a;}
12 LL d,tx,ty;
13 d=exgcd(b,a%b,tx,ty);
14 x=ty,y=tx-(a/b)*ty;
15 return d;
16 }
17 int main()
18 {
19 LL k;
20 while (scanf("%I64d",&k)!=EOF)
21 {
22 LL aa,rr,a,r; bool ok=false;
23 for (LL i=1;i<=k;i++)
24 {
25 scanf("%I64d%I64d",&aa,&rr);
26 if (ok) continue;
27 if (i==1) a=aa,r=rr;
28 else
29 {//求解同余方程
30 LL d,x,y,t;
31 d=exgcd(a,aa,x,y);//ax-aay=rr-r 有无正负号没有关系
32 if ((rr-r)%d!=0) {ok=true;continue;}//break;} 多组数据要读入完!
33 x=x*((rr-r)/d);//1个解
34 t=mabs(aa/d);//mabs
35 x=(x%t+t)%t;//最小非负整数解
36
37 r=a*x+r,a=a*aa/d;//a=lcm(a,aa)=a*aa/gcd(a,aa)=a*aa/d;
38 }
39 }
40 if (!ok) printf("%I64d\n",r);
41 else printf("-1\n");
42 }
43 return 0;
44 }
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