luogu题解 P2886 【牛继电器Cow Relays】-经过K边最短路&矩阵

• 题目链接：

  https://www.luogu.org/problemnew/show/P2886

• Update 6.16

  最近看了下《算法导论》，惊奇地发现在在介绍\(APSP\) \((All Pairs Shortest Path)\)时的第一个方法就是此法，同时在思考题中看到了不少熟悉的问题，看来《算法导论》还是要多看一下

• 思路：

  看到这题想了很久，想不到比较优的做法，然后看了书上的解法

  感觉太妙了，将图论与矩阵加速递推结合了起来从而轻而易举地解决了这道题，实在是神奇。

  首先我们构建邻接矩阵\(A\),最初\(A[i][j]\)表示从i到j直接相连路径长度(即不经过其他的点),若两点不直接相连或\(i==j\),都设为\(inf\)

  很明显当\(n==0\)时最初的\(A[i][j]\)表示经过\(n\)条边的最短路

  那么\(n!=0\)时呢？假设\(n==1\),那么我们只要将初始A矩阵进行如此运算:

  \(A[i][j]=min_{1<=k<=n,k!=i,j}(A[i][k]+A[k][j])\)

  此时\(A[i][j]\)当然就表示经过\(n\)条边时从\(i\)到\(j\)的最短路

  那么当\(n==k\)时呢？好象我们需\(k\)次上述运算,但是仔细一看它很想我们的矩阵乘法,显然具有结合律 逃），然后矩阵快速幂就好了...

• 注意：

  1. inf值最好设大一点，在这里卡了好久

  2. 节点数给出来是1000范围,矩阵乘法会超时，但是边数只有200范围，于是对节点编号离散化。

  3. 不知道为什么POJ上用C++会RE，要用G++

• 代码：

/*C++ 11*/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <vector>
#include <map>
#define ll long long
#define ri register int
using namespace std;
const int maxn=255;
const int inf=999999999;//inf值要设大
int tot=0;
struct Mat{
	int g[maxn][maxn];
	Mat operator ^(const int &k)const{
		int c=k;
		//Mat ans=Mat(n);
		Mat ans=*this;
		Mat res=ans;
		while(c){
			if(c&1)ans=ans*res;
			res=res*res;
			c=c>>1;
		}
		return ans;
	}
	Mat operator *(const Mat &b)const{
		Mat ans;
		for(ri i=1;i<=tot;i++){
			for(ri j=1;j<=tot;j++){
				ans.g[i][j]=inf;
			}
		}
	   for(ri i=1;i<=tot;i++){
			   for(ri j=1;j<=tot;j++){
			   	int tmp=ans.g[i][j];
			    for(ri k=1;k<=tot;k++){
				tmp=min(ans.g[i][j],g[i][k]+b.g[k][j]);
			    }
			    ans.g[i][j]=tmp;
		    }
		}
		return ans;
	}
};
int N,t,s,e;
int di[198164],fx[maxn];
Mat a;
template <class T>inline void read(T &x){
	x=0;int ne=0;char c;
	while(!isdigit(c=getchar()))ne=c=='-';
	x=c-48;
	while(isdigit(c=getchar()))x=(x<<3)+(x<<1)+c-48;
	x=ne?-x:x;
	return ;
}
int main(){
    int dis,u,v;
	read(N),read(t),read(s),read(e);
	for(ri i=1;i<=maxn;i++){
		for(ri j=1;j<=maxn;j++)
		a.g[i][j]=inf;
	}
	for(ri i=1;i<=t;i++){
		read(dis),read(u),read(v);
		if(!di[u])di[u]=++tot,fx[tot]=u;
		if(!di[v])di[v]=++tot,fx[tot]=v;
		a.g[di[u]][di[v]]=dis;
		a.g[di[v]][di[u]]=dis;
	}
	a=a^(N-1);
	printf("%d\n",a.g[di[s]][di[e]]);
	return 0;
}