【AGC003 E】Sequential operations on Sequence
Description
你有一个长度为 \(n\) 的序列,第 \(i\) 项为 \(i\)。
有 \(m\) 次操作,每次操作给定一个 \(x\),你需要将序列无限循环后截取前 \(x\) 项,作为新序列。
问最后序列中每个数出现多少次。
\(n,m\le 10^5,\space x_i\le 10^{18}\)
Solution
有个很显然的性质:若存在 \(i,j\),满足 \(i\lt j\) 且 \(x_i\ge x_j\),则第 \(i\) 次操作没用,可以不做。
所以简化后的操作序列 \(x\) 是单调上升的。
(这步可以不写,因为按照下述做法,如果出现上述情况那在第 \(i\) 个操作不会对答案造成任何贡献)
我们发现正着做不可行,考虑反着做。
我们假设最后的序列不是无限循环得来的,比如对于样例,假设最后得到的序列是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
那么所谓的“无限循环”其实就是把一段区间模 \(x\)。
依然以样例的操作为例,倒序做操作(忽略掉最后一个操作),倒数第二个操作的 \(x\) 为 \(8\)。
那么显然第 \([9,13]\) 个数是由第 \([1,8]\) 个数循环得来的。
故把第 \([9,13]\) 个数模 \(8\),得到新序列 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5
这时要把区间 \([1,8]\) 和区间 \([9,13]\) 分成两个独立区间扔进堆,因为以后 \([1,8]\) 区间再被模时,\([9,13]\) 区间作为 \([1,8]\) 区间的翻版,也可能被模。
如果把样例的倒数第二个操作的 \(x\) 改为 \(5\) 呢?我们需要分出 \([1,5]\),\([6,10]\),\([11,13]\) 三个区间么?
显然不用,\([1,5]\) 和 \([6,10]\) 两个区间显然等价,所以只记一个区间 \([1,5]\),然后系数 \(\times \space 2\) 即可。
当一个区间长度被削到 \(\le n\) 时,设该区间长度为 \(len\),那么该区间内的数就是 \(1\) 到 \(len\) 了。其对答案的贡献是前缀 \(+\space 1\),差分即可(即在第 \(len\) 位上 \(+\space 1\),最后从第 \(n\) 位向第 \(1\) 位递推算一遍前缀和)。
「这样做的时间复杂度对吗?」
当然不对了,尝试用类似线段树的形态画出分割区间的过程,发现最优情况下都是一个 \(10^{18}\) 个元素的满二叉树……
我们发现,当我们倒序扫到第 \(i\) 个操作时,我们会把很多个区间都分成长度为 \(x_i\) 和 \(len\% x_i\) 的两个区间。
那我们为什么不再分出来的这些长度为 \(x_i\) 的区间再合成一个记呢?这样我们就只需要把长度为 \(len\% x_i\) 的区间再扔进堆了。
这时复杂度就有意思了,这相当于初始时在堆中放入 \(n\) 个数 \(x_{1\cdots m}\),然后把每个数不停地模一个比自己小的数。
这对应了一个很裸的性质:对于一个数,一直模比它小的数,最多模 \(\log n\) 次变成 \(1\),因为每模一次至少 \(÷\space 2\)。
故堆中总共会出现过 \(m\log x_i\) 个元素,每次取堆顶元素的时间是 \(O(\log m)\),总时间为 \(O(m\log m\log x_i)\)。
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define N 100001
using namespace std;
inline ll read(){
ll x=0; bool f=1; char c=getchar();
for(;!isdigit(c); c=getchar()) if(c=='-') f=0;
for(; isdigit(c); c=getchar()) x=(x<<3)+(x<<1)+(c^'0');
if(f) return x;
return 0-x;
}
int n,m,top; ll a[N],ans[N];
struct scx{
ll x,coe;
inline bool operator <(const scx& a)const{
return x<a.x;
}
}; priority_queue<scx> pq;
int main(){
n=a[0]=read(), m=read();
ll x;
for(int i=1; i<=m; ++i){
x=read();
while(top && a[top]>=x) --top;
a[++top]=x;
}
pq.push((scx){a[top],1});
for(int i=top-1; i>=0; --i){
ll tmp = 0; scx u = pq.top();
while(u.x>a[i]){
pq.pop();
tmp += (u.x/a[i])*u.coe, u.x %= a[i];
if(u.x) pq.push(u);
if(pq.empty()) break;
u = pq.top();
}
if(tmp) pq.push((scx){a[i],tmp});
}
while(!pq.empty()){
scx u = pq.top(); pq.pop();
ans[u.x] += u.coe;
}
for(int i=n-1; i>=1; --i) ans[i]+=ans[i+1];
for(int i=1; i<=n; ++i) printf("%lld\n",ans[i]);
return 0;
}
【AGC003 E】Sequential operations on Sequence的更多相关文章
- 【agc003E】Sequential operations on Sequence
Portal -->agc003E Description 给你一个数串\(S\),一开始的时候\(S=\{1,2,3,...,n\}\),现在要对其进行\(m\)次操作,每次操作给定一个\(a ...
- 【47.40%】【codeforces 743B】Chloe and the sequence
time limit per test1 second memory limit per test256 megabytes inputstandard input outputstandard ou ...
- 【codeforces 438D】The Child and Sequence
[原题题面]传送门 [大致题意] 给定一个长度为n的非负整数序列a,你需要支持以下操作: 1:给定l,r,输出a[l]+a[l+1]+…+a[r]. 2:给定l,r,x,将a[l],a[l+1],…, ...
- 【做题】agc003E - Sequential operations on Sequence——经典结论
题意:有一个序列,初始是从\(1\)到\(n\)的\(n\)个数.有\(q\)次操作,每次操作给出\(q_i\),把当前的序列重复无数遍,然后截取最前面的\(q_i\)个元素作为新序列.要求输出完成所 ...
- 【 CodeForces - 392C】 Yet Another Number Sequence (二项式展开+矩阵加速)
Yet Another Number Sequence Description Everyone knows what the Fibonacci sequence is. This sequence ...
- 【BZOJ 2656】2656: [Zjoi2012]数列(sequence) (高精度)
2656: [Zjoi2012]数列(sequence) Time Limit: 2 Sec Memory Limit: 128 MBSubmit: 1499 Solved: 786 Descri ...
- 【Keras学习】Sequential模型
序贯(Sequential)模型 序贯模型是多个网络层的线性堆叠,也就是“一条路走到黑”. 可以通过向Sequential模型传递一个layer的list来构造该模型: from keras.mode ...
- AtCoder Grand Contest 003 E - Sequential operations on Sequence
题目传送门:https://agc003.contest.atcoder.jp/tasks/agc003_e 题目大意 一串数,初始为\(1\sim N\),现有\(Q\)个操作,每次操作会把数组长度 ...
- 【暴力模拟】UVA 1594 - Ducci Sequence
想麻烦了.这题真的那么水啊..直接暴力模拟,1000次(看了网上的200次就能A)后判断是否全为0,否则就是LOOP: #include <iostream> #include <s ...
随机推荐
- mdk3 工具使用-表白神器
一:在root目录下新建个txt文档,用vim编辑文档,写几段暧昧的话 二:终端执行命令: 开启网卡监听模式 airmon-ng start wlan0 开启无线广播 mdk3 wlan0mon b ...
- ValueError: numpy.dtype has the wrong size, try recompiling
问题ValueError: numpy.dtype has the wrong size, try recompiling解决 这是因为 Python 包的版本问题,例如安装了较旧版本的 Numpy, ...
- Fabric1.4 链码开发,开发模式下的测试
关闭之前已启动的网络环境 sudo docker-compose -f docker-compose-cli.yaml down 进入devmode目录: cd ~/go/src/github.co ...
- Big Box
#include <stdio.h> #define N 500 int height[N]; int n; int main() { scanf("%d", & ...
- day33 网络编程之UDP与进程了解
UDP 什么是UDP协议 在上节课的练习中,使用TCP进行网络编程时,我们会遇到粘包问题,这是因为TCP是流式协议,而今天学习的UDP协议不是流式协议,其发送的数据是数据报格式的,在进行数据发送时该协 ...
- idea的spring整合基于xml文件配置的mybatis报Invalid bound statement (not found): com.music.dao.MusicDao.findAll的问题
一. 题主当时就是自己尝试整合spring和mybatis的时候遇到了这个问题,当时题主只看到了用注解的方式配置的dao层,题主用的是xml文件配置的形式, 而且坑爹的是题主的两个文件的路径写的也不一 ...
- [转帖]开始使用Chronograf
地址:https://docs.influxdata.com/chronograf/v1.6/introduction/getting-started/ https://www.cnblogs.com ...
- 【Python】【demo实验10】【练习实例】【打印斐波那契数列】
斐波那契数列介绍: 斐波那契数列(Fibonacci sequence),又称黄金分割数列.因数学家列昂纳多·斐波那契(Leonardoda Fibonacci)以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子 ...
- Intellj Idea 快捷键入门
Intellj IDEA快捷键入门 时间: 2019/11/29 系统: Win10系统 版本 :Intellj Idea 2018.3 背景: 入手Intellj idea 两个月了,总结一下一些常 ...
- 【记录】看见的一些很好的博客x存一下
[字符串] AC自动机:https://www.cnblogs.com/cjyyb/p/7196308.html