Yali7月集训Contest2 T1 Cube 题解

• 题目链接：

  连我们都只有纸质题目...话说雅礼集训都是这样的吗...

• 大意

  0维基本图形是一个点

  1维基本图形是一条线段

  2维基本图形是一个正方形

  3维基本图形是一个正方体

  4维基本图形是...

  求\(n\)维基础图形中有多少个\(m\)维基础图形\((n>=m)\)并对\(998244353\)取模

• 分析

  手玩样例打表吼啊

  当然还是要暗中观察一下啦

  线段变成正方形,点数变为原来两边，边数除了变为原来两倍之外还要加上原来点数所对应连起来的边

  正方形变正方体也类似

  于是我就yy出一个递推式\(num[x][m]=num[x-1][m]*2+num[x-1][m-1]\)

  \(num[x][m]\)表示\(x\)维基础图形中含有\(m\)维基础图形的数量

  然后我们可以打一张表

  然后就有dalao发现了规律（我比较傻考场上都手玩出每一项能整除2的幂都没发现规律）

  \(num[n][m]/2^{n-m}=C^n_m\)

  然后就ok了

• 注意

  在订正这道题时发现几个值得注意的地方

  • 线性求逆元时我原来的方法不行

    原来我这么线性求逆元

inv[i]=(-(p/i)*inv[p%i]%p);

```

结果我发现数字一大就GG了

这是大佬的线性求逆元

```

inv[i]=(ll)(p-(p/i))*inv[p%i]%p;

```

这就很稳了

• 一个有趣的性质

  逆元的阶乘是原来数字阶乘的逆元

  很有趣，好象可证

• 代码：

include

include

include

include

include

include

include

define ri register int

define ll long long

using namespace std;

const int maxn=100005;

const int inf=0x7fffffff;

const int p=998244353;

template inline void read(T &x){

x=0;int ne=0;char c;

while(!isdigit(c=getchar()))ne=c'-';

x=c-48;

while(isdigit(c=getchar()))x=(x<<3)+(x<<1)+c-48;

x=ne?-x:x;

return ;

}

int inv[maxn],twopow[maxn],fac[maxn];

inline void pre(){

inv[0]=inv[1]=1,fac[1]=1,twopow[0]=1,twopow[1]=2;

for(ri i=2;i<=100002;i++){

fac[i]=(ll)fac[i-1]i%p;

inv[i]=(ll)(p-(p/i))inv[p%i]%p;

twopow[i]=(ll)(twopow[i-1]<<1)%p;

//cout<<fac[i]<<' '<<inv[i]<<' '<<twopow[i]<<endl;

}

for(ri i=2;i<=100002;i++){

inv[i]=(ll)inv[i]*inv[i-1]%p;//比较神奇,逆元的阶乘是原来数的阶乘的逆元

}

return ;

}

int t;

inline int solve(int m,int n){

if(m0)return twopow[n];

if(n==m)return 1;

return (ll)fac[n]inv[n-m]%ptwopow[n-m]%p*inv[m]%p;

}

int main(){

int n,m;

read(t);

pre();

while(t--){

read(n),read(m);

printf("%d\n",solve(m,n));

}

return 0;

}

```