可持久化数据结构(平衡树、trie树、线段树) 总结

然而好像没有平衡树

还是题解包：

T1：森林

树上主席树+启发式合并。

然而好像知道标签就没啥了。在启发式合并时可以顺手求lca

然而这题好像可以时间换空间（回收空间）

T2：影魔

难点在于考虑贡献的来源

考虑一个区间两端点和区间最值（不含端点）的关系

小，中，大：贡献p1

大，小，大：贡献p2

大，中，小：贡献p1

则预处理出每个点左右第一个比它大的数的位置，设为l和r

则l会对r有p2的贡献，l会对i+1～r-1产生p1的贡献，同理r会对l+1~i-1产生p1的贡献。

用线段树维护扫描线，正向，逆向分别扫一遍，先把贡献都加进线段树，扫到某个点时先统计贡献再在线段树中减掉贡献。

具体实现见代码

T3：世博会

其实难点在于将切比雪夫距离转化为曼哈顿距离，然后主席树维护即可，将两维分开考虑，分别取中位数即可。

T4：Obserbing the tree树上询问

可持久化线段树+标记永久化。在线段树的每个节点维护等差数列的首项和公比，利用标记永久化减少节点数量

新建一个状态类似于主席树的建树，用树剖维护即可（线段树也是按dfs序建的）

 #include<bits/stdc++.h>
 #define N 200050
 #define LL long long
 #define int long long
 using namespace std;

 int he[N],ne[N<<],to[N<<],cnt;
 inline void addedge(int x,int y){
     to[++cnt]=y;ne[cnt]=he[x];he[x]=cnt;
 }

 int n,m;
 int rt[N];
 int lc[N*],rc[N*],tot;
 LL sum[N*],d[N*],s[N*];
 inline LL cal(int a,int d,LL n){
     return a*n+d*(n-)*n/;
 }
 inline void upd(int g,int n){
     sum[g]=sum[lc[g]]+sum[rc[g]]+cal(s[g],d[g],n);
 }
 int merge(int x,int y,int l,int r){
     if(!x||!y)return x|y;
     s[x]+=s[y];d[x]+=d[y];
     if(l^r){
         const int m=l+r>>;
         lc[x]=merge(lc[x],lc[y],l,m);
         rc[x]=merge(rc[x],rc[y],m+,r);
     }
     sum[x]=sum[x]+sum[y];//////
     return x;
 }
 void bl(int g,int l,int r)
 {
     if(!g)return;
     //printf("g:%d l:%d r:%d s:%d d:%d sum:%d\n",g,l,r,s[g],d[g],sum[g]);
     const int m=l+r>>;
     bl(lc[g],l,m);bl(rc[g],m+,r);
 }
 void add(int &g,int l,int r,int x,int y,LL a,LL b)
 {
     if(l>y||r<x)return;
     if(!g)g=++tot;
     if(l>=x&&r<=y){
         s[g]+=a+b*(l-x);
         d[g]+=b;
         upd(g,r-l+);
         return;
     }
     const int m=l+r>>;
     add(lc[g],l,m,x,y,a,b);
     add(rc[g],m+,r,x,y,a,b);
     upd(g,r-l+);
 }
 LL ask(int g,int l,int r,int x,int y)
 {
     if(!g||l>y||r<x)return ;
     if(l>=x&&r<=y)return sum[g];
     const int m=l+r>>;
     int tl=max(l,x),tr=min(r,y);
     LL ret=cal(s[g]+d[g]*(tl-l),d[g],tr-tl+);
     return ret+ask(lc[g],l,m,x,y)+ask(rc[g],m+,r,x,y);
 }

 int dl[N],dr[N],dep[N],tp[N],hs[N],pos[N],f[N],sz[N];
 inline void dfs1(int g,int fa){
     dep[g]=dep[fa]+;sz[g]=;f[g]=fa;
     for(int i=he[g];i;i=ne[i]){
         if(to[i]^fa){
             dfs1(to[i],g);
             if(sz[to[i]]>sz[hs[g]])hs[g]=to[i];
             sz[g]+=sz[to[i]];
         }
     }
 }
 inline void dfs2(int g,int fa){
     dl[g]=dr[g]=++cnt;pos[cnt]=g;
     tp[g]=g==hs[fa]?tp[fa]:g;
     if(hs[g])dfs2(hs[g],g);
     for(int i=he[g];i;i=ne[i])
         if(!dl[to[i]])dfs2(to[i],g);
 }
 inline int LCA(int x,int y){
     while(tp[x]!=tp[y]){
         if(dep[tp[x]]>dep[tp[y]])swap(x,y);
         y=f[tp[y]];
     }
     if(dep[x]<dep[y])return x;return y;
 }

 inline void work(int &g,int fr,int to,LL a,LL b)
 {
     if(dep[fr]<dep[to])return;
     while(tp[fr]!=tp[to]){
         add(g,,n,dl[tp[fr]],dl[fr],a+b*(dl[fr]-dl[tp[fr]]),-b);
         a+=b*(dl[fr]-dl[tp[fr]]+);
         fr=f[tp[fr]];
     }
     add(g,,n,dl[to],dl[fr],a+b*(dl[fr]-dl[to]),-b);
 }
 inline LL getans(int g,int fr,int to)
 {
     LL ret=;
     while(tp[fr]!=tp[to]){
         ret+=ask(g,,n,dl[tp[fr]],dl[fr]);
         fr=f[tp[fr]];
     }
     ret+=ask(g,,n,dl[to],dl[fr]);
     return ret;
 }
 main()
 {

     scanf("%lld%lld",&n,&m);
     for(int i=,x,y;i<n;++i){
         scanf("%lld%lld",&x,&y);
         addedge(x,y);addedge(y,x);
     }
     cnt=;dfs1(,);dfs2(,);
     char s[];int x,y,a,b;LL lasans=,ts=,now=;
     while(m--)
     {
         scanf("%s",s);
         if(s[]=='c'){
             scanf("%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&a,&b);
             x^=lasans;y^=lasans;
             ++ts;
             int lca=LCA(x,y),dis=dep[x]+dep[y]-dep[lca]-dep[lca];
 //            printf("%d %d %d\n",x,y,lca);
             work(rt[ts],x,lca,a,b);
             work(rt[ts],y,lca,a+b*dis,-b);
             add(rt[ts],,n,dl[lca],dl[lca],-(a+(dep[x]-dep[lca])*b),);
             rt[ts]=merge(rt[ts],rt[now],,n);
 //            bl(rt[ts],1,n);
             now=ts;
         }
         else if(s[]=='q'){
             scanf("%lld%lld",&x,&y);
             x^=lasans;y^=lasans;
             int lca=LCA(x,y);
             lasans=getans(rt[now],x,lca)+getans(rt[now],y,lca)-getans(rt[now],lca,lca);
             printf("%lld\n",lasans);
         }
         else{
             scanf("%lld",&now);
             now^=lasans;
         }
     }
     return ;
 }

T5：Alo

此题考察可持久化trie+RMQ

因为要取区间次大值，所以要找出以每个数作次大值的区间即可，

对于每个数，先找到右面第一个比它大的，然后再向右找到第二个比它大的，这个过程可以用二分+rmq实现，这样就得到了它作为次大值的右端点，reverse一下就得到了左端点，用trie在区间找到最值即可

T5：最大异或和

可持久化trie的板子题