CF1140F Extending Set of Points 【按时间分治，并查集】

题目链接：洛谷

首先我们考虑没有撤回操作的情况，就是将每一行和每一列看做一个点（代表行的称为白点，代表列的称为黑点），每个点$(x,y)$看做一条边。

Extend操作实际上就是$x_1$行与$y_1,y_2$列联通，$x_2$行与$y_1$列联通时，$x_2$行也跟$y_2$列联通。

同一个联通块里的一个黑点和一个白点会产生1的贡献，所以就是连边操作+查询每个联通块的（黑点个数*白点个数）之和，可以使用并查集维护。

现在考虑撤回操作，其实就相当于每条边在$[t_1,t_2]$这段时间里“有贡献”，考虑建一个关于时间的线段树，将$[t_1,t_2]$拆分为log个区间，然后将这条边加入这log个区间对应的边集中，表示在这个区间的范围中这条边“有贡献”。

然后对这个线段树进行dfs，每次dfs到一个区间$[l,r]$的时候，将这个区间对应的边集的边加入并查集，退出的时候把影响消除。

其实对于大部分非均摊时间的数据结构都是可以很快撤回的，并查集也是这样。所以不能使用路径压缩，要使用按秩合并。

时间复杂度$O(n\log^2n)$

 #include<bits/stdc++.h>
 #define Rint register int
 #define fi first
 #define se second
 #define mp make_pair
 using namespace std;
 typedef long long LL;
 typedef pair<int, int> pii;
 const int N = ;
 int q, fa[N], siz[N][], top;
 map<pii, int> ma;
 vector<pii> vec[N << ];
 LL ans, ansx[N];
 inline int getfa(int x){
     return x == fa[x] ? x : getfa(fa[x]);
 }
 pii que[N];
 inline void comb(int x, int y){
     x = getfa(x); y = getfa(y);
     if(x == y) return;
     if(siz[x][] + siz[x][] < siz[y][] + siz[y][]) swap(x, y);
     ans += (LL) siz[x][] * siz[y][] + (LL) siz[x][] * siz[y][];
     siz[x][] += siz[y][];
     siz[x][] += siz[y][];
     fa[y] = x;
     que[++ top] = mp(x, y);
 }
 inline void undo(int x, int y){
     fa[y] = y;
     siz[x][] -= siz[y][];
     siz[x][] -= siz[y][];
     ans -= (LL) siz[x][] * siz[y][] + (LL) siz[x][] * siz[y][];
 }
 inline void update(int x, int L, int R, int l, int r, pii val){
     if(l <= L && R <= r){
         vec[x].push_back(val);
         return;
     }
     int mid = L + R >> ;
     if(l <= mid) update(x << , L, mid, l, r, val);
     if(mid < r) update(x <<  | , mid + , R, l, r, val);
 }
 inline void dfs(int x, int L, int R){
     int now = top;
     for(pii tmp : vec[x])
         comb(tmp.fi, tmp.se);
     if(L == R) ansx[L] = ans;
     else {
         int mid = L + R >> ;
         dfs(x << , L, mid); dfs(x <<  | , mid + , R);
     }
     while(top > now){
         undo(que[top].fi, que[top].se); -- top;
     }
 }
 int main(){
     scanf("%d", &q);
     for(Rint i = ;i <= q;i ++){
         int x, y;
         scanf("%d%d", &x, &y); y += 3e5;
         if(!ma.count(mp(x, y))) ma[mp(x, y)] = i;
         else {
             update(, , q, ma[mp(x, y)], i - , mp(x, y));
             ma.erase(mp(x, y));
         }
     }
     for(auto it = ma.begin();it != ma.end();it ++)
         update(, , q, it -> se, q, it -> fi);
     for(Rint i = ;i <= 3e5;i ++) fa[i] = i, siz[i][] = ;
     for(Rint i = 3e5 + ;i <= 6e5;i ++) fa[i] = i, siz[i][] = ;
     dfs(, , q);
     for(Rint i = ;i <= q;i ++) printf("%lld\n", ansx[i]);
 }

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