【概率论】3-9:多随机变量函数(Functions of Two or More Random Variables)

title: 【概率论】3-9:多随机变量函数(Functions of Two or More Random Variables)

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- Mathematic

- Probability

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- Convolution

- 卷积

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date: 2018-03-19 10:12:34

Abstract: 本文介绍多随机变量的函数

Keywords: 离散多随机变量的函数，连续多随机变量的函数，卷积

开篇废话

任何一个领域的顶级人才都是需要很久的基础知识积累的，所以根据自己的定位可以适当的补充自己的基础知识：

如果你想进入机器学习这个行业，了解基础技术更重要，你需要会使用python，各种工具包，TensorFlow等基础工具
如果你想在机器学习这个行业稳定的输出而不是撞大运式的调参，你需要了解下网络结构，基础算法，并且你需要非常多的经验去调参。
如果你想成为机器学习的研究者，很遗憾的告诉你，你有一大堆数学要学而且真的不是一两年能学完的，所以还没有毕业的铜须有志于进入研究行列的，大家请多学习数学。

以上为个人理解，每一个等级难度都会提升，但是不保证收入和难度完全成正比。

上文书我们讲到单个随机变量的函数变换，本文我们只进行简单变换，因为我们从试验结果到事件进行了一次映射，事件到随机变量又是一次映射，如果从随机变量再到另一个随机变量还是一个映射，这个过程可能都不是一对一的，所以这个过程是对原始信息的总结和提取，提取对我们有用的信息的方法。通过总结归纳出一个或者多个结构化的函数，可以反映信息的容积。

Random Variables with a Discrete Joint Distribution

Theorem Functions of Discrete Random Variables. Suppose that nnn random varibales X1,…,XnX_1,\dots ,X_nX1,…,Xn have a discrete joint distribution for which the joint p.f. is fff and that mmm functions Y1,…,YmY_1,\dots ,Y_mY1,…,Ym of these nnn random variables are defined as follows:

Y1=r1(X1,…,Xn),Y2=r2(X1,…,Xn),⋮Ym=rm(X1,…,Xn)
Y_1=r_1(X_1,\dots,X_n),\\
Y_2=r_2(X_1,\dots,X_n),\\
\vdots\\
Y_m=r_m(X_1,\dots,X_n)
Y1=r1(X1,…,Xn),Y2=r2(X1,…,Xn),⋮Ym=rm(X1,…,Xn)

For given values y1,…,ymy_1,\dots,y_my1,…,ym fo the mmm random variables Y1,…,YmY_1,\dots,Y_mY1,…,Ym let AAA denote the set of all points (x1,…,xn)(x_1,\dots,x_n)(x1,…,xn) such that:

r1(x1,…,xn)=y1r2(x1,…,xn)=y2⋮rm(x1,…,xn)=ym
r_1(x_1,\dots,x_n)=y_1\\
r_2(x_1,\dots,x_n)=y_2\\
\vdots\\
r_m(x_1,\dots,x_n)=y_m\\
r1(x1,…,xn)=y1r2(x1,…,xn)=y2⋮rm(x1,…,xn)=ym

Then the value of the joint p.f. ggg of Y1,…,YmY_1,\dots,Y_mY1,…,Ym is specified at the point (y1,…,ym)(y_1,\dots,y_m)(y1,…,ym) by the relation

g(y1,…,ym)=∑(x1,…,xn)∈Af(x1,…,xn)
g(y_1,\dots,y_m)=\sum_{(x_1,\dots,x_n)\in A}f(x_1,\dots,x_n)
g(y1,…,ym)=(x1,…,xn)∈A∑f(x1,…,xn)

和单变量函数的套路基本一致，最后的公式是最关键的逻辑核心，也就是 (x1,…,xn)∈A(x_1,\dots,x_n)\in A(x1,…,xn)∈A 是解决问题的关键，换句话说，多变量也好，单变量也好，最后我们要做的都是一个逆向的求解，或者叫做穷举的方法，因为我们并没计算公式能够得到全部的向量 x⃗=(x1,…,xn)\vec{x}=(x_1,\dots,x_n)x=(x1,…,xn) 保证其满足 x⃗∈A\vec{x}\in Ax∈A 所以ggg 和 fff 的关系也就是这么确定的，找到所有f的输入 x⃗\vec{x}x 使其满足 y0⃗\vec{y_0}y0 的需求，求的所有满足条件的概率和。

这部分和单离散随机变量完全一致，只是随机变量变成了随机变量向量了。

下面的定理关于二项分布和伯努利分布：

Theorem Binomial and Bernoulli Distributions. Assume that X1,…,XnX_1,\dots,X_nX1,…,Xn are i.i.d. random variables having the Bernoulli distribution with parameter ppp .Let Y=X1+…XnY=X_1+\dots X_nY=X1+…Xn . Then YYY has the binomial distribution with parameters nnn and ppp

当随即向量 x⃗=(x1,…,xn)\vec{x}=(x_1,\dots,x_n)x=(x1,…,xn) 是独立同伯努利分布的随机变量的时候，且其概率为 ppp ，其函数 Y=f(x1,…,xn)Y=f(x_1,\dots,x_n)Y=f(x1,…,xn) 的分布是二项分布参数是 nnn 和 ppp

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