概率图模型（PGM）学习笔记（四）-贝叶斯网络-伯努利贝叶斯-多项式贝叶斯

之前忘记强调了一个重要差别：条件概率链式法则和贝叶斯网络链式法则的差别

条件概率链式法则

贝叶斯网络链式法则，如图1

图1

乍一看非常easy认为贝叶斯网络链式法则不就是大家曾经学的链式法则么，事实上不然，后面详述。

上一讲谈到了概率分布的因式分解

\begin{array}{l}P\left({X,Y\left| Z \right.} \right) = P\left( {X\left| Z \right.} \right)P\left({Y\left| Z \right.} \right)\\P\left({X\left| {Y,Z} \right.} \right) = P\left( {X\left| Z \right.} \right)\\P\left({Y\left| {X,Z} \right.} \right) = P\left( {Y\left| Z \right.} \right)\\P\left({X,Y,Z} \right) \propto {\phi _1}\left( {X,Z} \right)\phi \left( {Y,Z} \right)\end{array}" alt="">

能够看到条件概率的独立性能够直接从概率分布表达式看出来。

我们已经用概率图模型把概率关系用图形化G表示了，独立性能从图上直接看出来吗？

当然。上一讲已经详解过了概率图中概率的流动关系.

当G已知时。S和D之间的概率才干相互影响。

以下定义一个依赖隔离的概念。

依赖隔离（D-separation）

在Z已知的情况下，X与Y之间没有通路。

则称之为X与Y依赖隔离。记作

介绍个定理：“图不通就独立定理”（当然是为了好理解）

这个定理是说，若概率图满足依赖隔离

则有X与Y条件独立

来证明一下。如今用的是贝叶斯网络链式法则。如图2

图2

利用的还是之前那个把求和拆分的Trick。这里要注意一開始求和的脚标是G、I、L

如今分给了3部分L和G部分求和后当然就等于了1，可是I部分则不然，被求和的部分是S。而求和脚标是I，这样就没法继续合并了。只是我们回忆之前的独立等价条件最后一条是说：

P\left({X,Y,Z} \right) \propto {\phi _1}\left( {X,Z} \right)\phi \left( {Y,Z} \right)" alt="">

这样就搞定了，发现D与S还是独立的。

这样就证明了“图不通就独立定理”。

那么不禁要问，图什么情况下不通呢？

先说结论：在已知父节点时，该节点与后代节点以外的节点不通。

姑且叫做“不通原则”

说的好啰嗦，直接看图，如图3

图3

我们以Letter节点作为样例。他的父节点时Grade，他的子孙是Job和Happy，所以他和剩下来的SAT、Intelligence、Difficulty、Coherence不通了。粗略分析下。这个环上面走不通是由于Grade已知了；以下走不通是由于Job不知道。分析原理上一讲已经详述了。

定义一个Imap

既然图不通就独立，假设这个不通的图G相应的概率分布是P，我们就称G是P的I-map（independencymap）。

假设独立的概率分布P能够依照某个图G分解，那么G就是P的Imap。

反过来。假设G是概率分布P的Imap，那么P能够依照G来进行分解。

因此概率图的就有了2种等价的观点

1.概率图G是用来表示概率分布P的。

2.P是用来表达概率图G所展示的独立关系的。

证明一下概率图和概率分布为啥是一回事

先写出图1中的条件，如图4所看到的，用条件概率的链式法则写出P，由G中连接关系能够化简成为贝叶斯网络的链式法则。

图4

尤其注意为什么有

这里要用到之前说明的“不通原则”，L在已知D、G、I、S的前提下。他的非后代节点（他也没有后代节点）是D、I、S。所以直接去掉。

这就说明了概率独立关系与概率图的连接关系事实上是一回事。

以下介绍朴素贝叶斯模型

这个朴素贝叶斯叫做（Naïve Bayes）又叫（IdiotBayes…）

主要的朴素贝叶斯模型如图5。

图5

全部的X都是条件独立的，即

由贝叶斯网络的链式法则easy得到

P\left( {C,{X_1}, \ldots ,{X_n}}\right) = P\left( C \right)\prod\limits_{i = 1}^n {P\left( {{X_i}\left| C\right.} \right)}" alt="">

有2类经常使用的朴素贝叶斯模型

举个样例说明两种贝叶斯模型各自是怎么起作用的。

如今有一篇文档，由非常多单词组成。如今有2个类别可供选择各自是“有关財务”和“有关宠物”。如今要把这篇文章归档。

其一：伯努利朴素贝叶斯（Bernoulli Naive Bayes）

伯努利朴素贝叶斯如图6。

watermark/2/text/aHR0cDovL2Jsb2cuY3Nkbi5uZXQveWNoZW5nX3NqdHU=/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70/gravity/SouthEast" alt="">

图6

这样的方式实质上是“查字典”，它把cat、dog、buy这些当做字典里的词目。

之所以伯努利是由于，这样的方式仅仅管分析文章里面有没有出现词典里的词目，而无论出现了多少次。

词典的条目都是仅仅有0-1的二项分布随机变量。

文档属于这两类的概率分别为

\frac{{P\left( {C = {c^1}\left| {{x_1}, \ldots ,{x_n}} \right.} \right)}}{{P\left( {C = {c^2}\left| {{x_1}, \ldots ,{x_n}} \right.} \right)}} = \frac{{P\left( {C = {c^1}} \right)}}{{P\left( {C = {c^2}} \right)}}\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{P\left( {{x_i}\left| {C = {c^1}} \right.} \right)}}{{P\left( {{x_i}\left| {C = {c^2}} \right.} \right)}}} " alt="">

每个小乘积项代表了“假设这是一篇財务文档。能出现cat字眼的概率是0.001”这种意义。

为啥这个朴素了。由于它如果了每一个词的条目出现是相互不影响的。

其二：多项式朴素贝叶斯（Multinomial Naïve Bayes）

这样的方式与伯努利有本质不同。如图7

watermark/2/text/aHR0cDovL2Jsb2cuY3Nkbi5uZXQveWNoZW5nX3NqdHU=/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70/gravity/SouthEast" alt="">

图7

W这些单元再也不是词典的条目了，而是待分类文章中的真实单词。

假如这篇文章写了1991个词，那么就有1991个W

文档属于这两类的概率依旧分别为

每个小乘积项代表了“假设这是一篇財务文档。在文章里随意一个位置出现cat的概率是0.001”这种意思。你看表还是那张表，可是如今全然不一样了！

由于如今要求cat+dog+buy+sell这些概率加起来要等于1。而伯努利没这个限制，随意等于多少。这个差别非常重要。

为什么这个贝叶斯也是朴素的呢？由于它假定了在文章全部位置出现cat的概率是满足相同的分布的，实际明显不可能好不好。就像“敬爱的”必定一般都会出如今开头。谁会在文章写到一半来句这个。。。

总之朴素贝叶斯确实朴素，它仅仅能用于随机变量相关性较弱的情况，但非常多情况实际确实挺弱的。。

。所以朴素贝叶斯的效果Surprisingly effective

朴素贝叶斯被广泛使用于各种领域。

这里就不展开了。

长处还蛮多的。

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