poj 2942 Knights of the Round Table(点双连通分量+二分图判定)

题目链接：http://poj.org/problem?id=2942

题意：n个骑士要举行圆桌会议，但是有些骑士相互仇视，必须满足以下两个条件才能举行：

（1）任何两个互相仇视的骑士不能相邻，每个骑士有两个相邻的骑士（即如果只有一个骑士，则不能举行会议）

（2）圆桌会议坐下的骑士数量必须为奇数个

有一张名单列出m个相互仇视的骑士，如果遵守以上两个规则，可能是某些骑士不可能被安排坐下，一种情况是一个骑士仇视所有其他的骑士。如果一个骑士不可能被安排坐下，则将他从骑士名单中剔除，问有多少个骑士会被剔除掉。

1<=n<=100,1<=m<=1000000

分析：题目上好像是说所有不被剔除的骑士都要参加圆桌会议，我严重怀疑这道题的题意是不是不明确，要不然就是poj的数据有问题。所以我将这题的题意理解为：不一定要所有不被剔除的骑士都要参加圆桌会议，只需其中的一部分就行了，这样有些数据就能解释为什么了。

将骑士看成顶点，不互相仇视的骑士连边，建无向图，即建反图。构造无向图之后，先按要求（1），将所有能坐在一起的骑士分为一组，全部骑士分为若干组，每一组在图中是一个双连通分量。注意，这里我们要求的是点双连通分量，是点双，不是边双。为什么呢？因为我们是要剔除掉骑士，而骑士就是一个顶点了，并不是剔除掉仇恨关系，所以是点双。

每一个双连通分量就是一个环了，但是这只是找到了环，而题目要求的是顶点数为奇数的环，即奇圈。

那么怎么判断奇圈呢？这里有两个定理：

（1）如果一个双连通分量中存在一个奇圈，那么该双连通分量内的所有顶点都处在某个奇圈内。

在一个双连通分量中，必定存在一个圈经过该连通分量的所有节点，如果这个圈是奇圈，则该连通分量内所有的点都满足条件；若这个圈是偶圈，如果包含奇圈，则必定有另一个奇圈经过由剩下的点或该奇圈内至少2个点及其边构成的环。

（2）一个双连通分量含有奇圈当且仅当它不是一个二分图。

直观的想，对于一个二分图，从一个点出发要回到一个点显然要经过偶数个节点，所以肯定不存在奇圈。

所以判断一个双连通分量是否含有奇圈，只需判断该双连通分量是否是二分图就行了，而判二分图可以用交叉染色法。

交叉染色法就是在DFS过程中反复交换着用两种不同的颜色对未染色过的点染色，若某次DFS中当前点的子节点和当前节点同色，则找到奇圈。

想象一下二分图就像是河的两岸有两排节点，没染色一次就过河一次，那么相同颜色的节点必定在同一侧。一旦出现异侧有相同颜色的节点，就说明该图不是二分图了。

总结一下：首先求出图的补图，然后把点双连通分量找出，对于每个双连通分量判断是否为二分图，如果不是则将分量重的所有点标记，统计一下标记过的顶点个数ans，最后结果就是n-ans。

AC代码：

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 const int N=+;
 struct EDGE{
     int v,next;
 }edge[N*N*];
 int g,cnt,top,count,n,m;
 int first[N],low[N],dfn[N],sta[N*N*],sm[N],map[N][N],color[N],part[N],mark[N];
 int min(int a,int b)
 {
     return a<b?a:b;
 }
 void AddEdge(int u,int v)     //建边
 {
     edge[g].v=v;
     edge[g].next=first[u];
     first[u]=g++;
 }
 int dfscol(int u,int col)   //交叉染色法
 {
     int i,v;
     color[u]=col;
     for(i=first[u];i!=-;i=edge[i].next)
     {
         v=edge[i].v;
         if(!part[v])
             continue;
         if(color[v]==col)
             return ;
         if(color[v]==&&dfscol(v,-col))
             return ;
     }
     return ;
 }
 void color_solve()        //二分判定
 {
     int i;
     memset(part,,sizeof(part));
     for(i=;i<count;i++)
         part[sm[i]]=;
     memset(color,,sizeof(color));
     if(dfscol(sm[],))      //若含有奇圈
     {
         for(i=;i<count;i++)
             mark[sm[i]]=;
     }
 }
 void Tarjan(int u,int fa)    //求双连通分量
 {
     int i,v;
     low[u]=dfn[u]=++cnt;
     sta[top++]=u;
     for(i=first[u];i!=-;i=edge[i].next)
     {
         v=edge[i].v;
         if(i==(fa^))
             continue;
         if(!dfn[v])
         {
             Tarjan(v,i);
             low[u]=min(low[u],low[v]);
             if(low[v]>=dfn[u])
             {
                 count=;          //将双连通分量记录起来。。刚开始这部分写错了，wa到死
                 sm[count++]=u;
                 sta[top]=-;
                 while(sta[top]!=v)     //注意割点属于多个双连通分量，所以要弹到v，u不能弹出去
                 {
                     sm[count++]=sta[--top];
                 }
                 color_solve();     //判断该双连通分量是否为二分图
             }
         }
         else
             low[u]=min(low[u],dfn[v]);
     }
 }
 void solve()
 {
     int i,j,u,v;
     g=cnt=top=;                 //初始化
     memset(low,,sizeof(low));
     memset(dfn,,sizeof(dfn));
     memset(first,-,sizeof(first));
     memset(map,,sizeof(map));
     memset(mark,,sizeof(mark));

     for(i=;i<m;i++)
     {
         scanf("%d%d",&u,&v);
         map[u][v]=map[v][u]=;
     }
     for(i=;i<=n;i++)         //建反图
         for(j=i+;j<=n;j++)
         {
             if(!map[i][j])
             {
                 AddEdge(i,j);
                 AddEdge(j,i);
             }
         }
     for(i=;i<=n;i++)        //求双连通分量
         if(!dfn[i])
             Tarjan(i,-);

     int ans=;
     for(i=;i<=n;i++)       //统计已标记的顶点数
         if(mark[i])
             ans++;
     printf("%d\n",n-ans);
 }
 int main()
 {
     while(scanf("%d%d",&n,&m))
     {
         if(n==&&m==)
             break;
         solve();
     }
     return ;
 }