【LOJ6089】小Y的背包计数问题（动态规划）

【LOJ6089】小Y的背包计数问题（动态规划）

题面

LOJ

题解

神仙题啊。

我们分开考虑不同的物品，按照编号与\(\sqrt n\)的关系分类。

第一类：\(i\le \sqrt n\)

即需要考虑所有的情况，那么设\(f[i][j]\)表示前\(i\)个物品装了体积\(j\)的方案数。

显然\(f[i][j]=\sum_{k=1}^i f[i][j-k*i]\)转移过来，那么按照\(i\)分剩余类，前缀和转移即可。

这一部分的复杂度是\(O(n\sqrt n)\)

第二类：\(i\ge \sqrt n\)

因为\(i*i\ge n\)，所以这一部分的任何一个物品都不存在个数的限制，即可以随意选择。

那么我们只需要用所有大于\(\sqrt n\)的数做整数划分就行了。

设\(g[i][j]\)表示当前一共划分出来了\(i\)个数，和为\(j\)的方案数，每次要么加入一个\(\sqrt n\)，要么把所有数\(+1\)。

这一部分因为数的共个数，即\(i\)不会超过\(\sqrt n\)，所以总的复杂度也是\(O(n\sqrt n)\)的。

那么这题的总复杂度就是\(O(n\sqrt n)\)了。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
#define ll long long
#define MOD 23333333
#define MAX 100100
int n,m,ans;
int f[350][MAX],g[350][MAX],s[MAX];
int main()
{
	cin>>n;m=sqrt(n);
	f[0][0]=1;
	for(int i=1;i<=m;++i)
	{
		for(int j=0;j<i;++j)
		{
			int tot=0;
			for(int k=j;k<=n;k+=i)s[++tot]=f[i-1][k];
			for(int k=1;k<=tot;++k)s[k]=(s[k-1]+s[k])%MOD;
			for(int k=j,tot=0;k<=n;k+=i,++tot)
				f[i][k]=(f[i][k]+s[tot+1]-s[max(0,tot-i)]+MOD)%MOD;
		}
	}
	memset(s,0,sizeof(s));g[0][0]=s[0]=1;
	for(int i=1;i<=m;++i)
		for(int j=0;j<=n;++j)
		{
			if(j>=i)g[i][j]=(g[i][j]+g[i][j-i])%MOD;
			if(j>=m+1)g[i][j]=(g[i][j]+g[i-1][j-(m+1)])%MOD;
			s[j]=(s[j]+g[i][j])%MOD;
		}
	for(int i=0;i<=n;++i)ans=(ans+1ll*s[n-i]*f[m][i])%MOD;
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}