天梯赛 L2-008 最长对称子串

题目是PTA的天梯赛练习集中的L2-008

https://pintia.cn/problem-sets/994805046380707840/problems/994805067704549376

其实一开始写这个题之前我对于DP是这么认为的

a. DP本质上就是按照一定的顺序来填表。

b. DP填表的顺序是什么呢？按照分而治之的思路来填表，也就是说将完整的问题分解成其子问题，不断地从解决那个最优子问题的一个最优子结构推到一个更大的最优的子结构，直到最后整个完整的问题的最优结构被推出来。

所以我最开始是有一个自己的想法的，但是后面证实这个自己的想法行不通，原因就是我以为的最优子结构它并不是最优子结构。

然后找了一下题解，学完题解之后谈下我的理解。

对于这个问题。

1. 如果一个子串的长度是1，那么它也算是一个回文子串，长度也就是1。
2. 如果这个子串的长度是2，并且两个字符相同，那么它肯定是一个回文子串，长度为2。
3. 如果这个子串的长度大于2，那么因为我们用 i 和 j 来标识了它的起始位置和结束位置，那么如果a【i】和a【j】不一样，那么它就肯定不是一个回文串啦，但是如果a【i】和a【j】相等，那么它是否为一个回文子串取决于从a【i+1】到a【j-1】这个子串是否回文子串了。

上面的第三点就是我们说的，要解决这个问题，需要取决于其子结构来确定其解

但是在上述的填表过程中，填表必须按照一个正确的顺序，可能某个dp【】【】需要在另外一个dp【】【】先被填后，才能够填充。

那么，顺序应该是什么样的呢？

首先我们用的是dp【i】【j】来表示从第i个到第j个字符的子串是否回文串，那么i肯定是要小于等于j的，所以我们在dp这个二维数组中，只有对角线以及右上角半个二维数组需要填。

其次，因为我们的递推式中，要填 a【i】【j】必须先有a【i-1】【j+1】，放到二维数组中呢，其实就是某个格子左下角的格子。

所以一个格子要被填充之前，它的左下角的格子必须先被填充。

我们在遍历填表的时候，因为是两个for循环嵌套，那么肯定是外层循环是行，内层循环是列或者是外层循环是列，内层循环是行这两种顺序，我们为了保证某个格子左下角的格子已经被填，那么最好就是用外层循环是列，内层循环是行这样来操作。

那么dp肯定需要初始化啦，上面的第一点和第二点就是来做初始化的。长度为1的子串是回文子串，那么二维数组中的对角线需要预先填好，并且，对于所有dp【i】【j】（j = i+1）的格子，也就是长度为2的回文子串，也可以直接填好。

初始化了之后，所有的格子在填写的时候都有了依据，就能完成这个dp啦。

题解：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1050;
string s;
int dp[maxn][maxn],ans = 0;
int main(){
	#ifndef ONLINE_JUDGE
		//freopen("in.txt","r",stdin);
	#endif
	getline(cin,s);
	int len = s.length();
	memset(dp,0,sizeof(dp));
	for(int i=0;i<len;i++)
		dp[i][i] = 1;
	for(int j=0;j<len;j++){
		for(int i=0;i<=j;i++){

			if(s[i] == s[j] && j == i+1) dp[i][j] = 1;
			else if(s[i] == s[j] && dp[i+1][j-1]) dp[i][j] = 1;
			int newlen = j-i+1;
			if(dp[i][j] && ans < newlen) ans = newlen;
		}
	}
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}