[loj3342]制作菜品

当$n-1\le m$，不妨令$d_{1}\le d_{2}\le...\le d_{n}$，则$(n-1)k\le mk=\sum_{i=1}^{n}d_{i}\le d_{1}+(n-1)d_{n}$

将这个拆成两部分，即$(n-2)k+k$和$(n-2)d_{n}+(d_{1}+d_{n})$，由于后者大于等于前者，所以两项中必然有一项大于等于前者，容易发现一定存在$k\le d_{1}+d_{n}$

那么就可以不断贪心将$d_{1}$和$d_{n}$匹配，每一次必然会至少消除一个数，而最后一次因为总和恰好为$mk$所以必然全部消除

当$m=n-2$，此时合法当且仅当存在一个集合$S\subset \{1,2,...,n\}$使得$\sum_{i\in S}d_{i}=(|S|-1)k$

证明：充分性，如果存在，将两部分分开处理，即有解且已构造得出

必要性，可以证明若存在合法解，必然存在一组使得每次操作使至少一个点变为$0$（显然消除掉一定更优）

构造：将每一个点向消除掉自己的点连无向边，显然这张图不存在大于2的环（考虑环上操作的先后顺序即可）

因此即去除掉重边后，这张图是一棵森林且有至少2棵树（否则有$n-1$次操作），其中任意一棵子树即可作为集合$S$

考虑怎么求出这个集合$S$，暴力$dp$令$f[i][j][k]$表示前$i$个点中选$j$个点和能否为$k$，复杂度为$o(n^{3}k)$无法通过

如何使得其与$|S|$无关，即$S$需满足$\sum_{i\in S}d_{i}-k=-k$，同时权值范围仅变为$[-nk,nk]$，因此复杂度降为$o(n^{2}k)$

问题即一个01背包的存在性判断，可以用$bitset$来优化，复杂度降为$o(\frac{n^{2}k}{32})$，可以通过

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 #define N 505
 4 set<pair<int,int> >s;
 5 int t,n,m,k,d[N],vis[N];
 6 bitset<N*N*20>f[N];
 7 void work(int m){
 8     for(int i=1;i<=m;i++){
 9         int x=(*s.begin()).second;
10         s.erase(s.begin());
11         if (d[x]>=k){
12             printf("%d %d",x,k);
13             d[x]-=k;
14             if (d[x])s.insert(make_pair(d[x],x));
15         }
16         else{
17             int y=(*(--s.end())).second;
18             s.erase(--s.end());
19             printf("%d %d %d %d",x,d[x],y,k-d[x]);
20             d[y]-=k-d[x];
21             if (d[y])s.insert(make_pair(d[y],y));
22             d[x]=0;
23         }
24         if (i!=m)printf("\n");
25     }
26 }
27 int main(){
28     freopen("dish.in","r",stdin);
29     freopen("dish.out","w",stdout);
30     scanf("%d",&t);
31     bool flag=0;
32     while (t--){
33         if (flag)printf("\n");
34         flag=1;
35         scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
36         for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&d[i]);
37         if (n-1<=m){
38             for(int i=1;i<=n;i++)s.insert(make_pair(d[i],i));
39             work(m);
40             continue;
41         }
42         memset(vis,0,sizeof(vis));
43         for(int i=0;i<=n;i++)f[i].reset();
44         f[0][n*k]=1;
45         bool flagg=0;
46         for(int i=1;i<=n;i++){
47             f[i]=f[i-1];
48             if (d[i]>=k)f[i]|=(f[i-1]<<d[i]-k);
49             else f[i]|=(f[i-1]>>k-d[i]);
50             if (f[i][(n-1)*k]){
51                 flagg=1;
52                 for(int j=i,t=(n-1)*k;j;j--)
53                     if (f[j-1][t-(d[j]-k)]){
54                         vis[j]=1;
55                         t-=d[j]-k;
56                     }
57                 for(int j=1;j<=n;j++)
58                     if (vis[j])s.insert(make_pair(d[j],j));
59                 work(s.size()-1);
60                 printf("\n");
61                 for(int j=1;j<=n;j++)
62                     if (!vis[j])s.insert(make_pair(d[j],j));
63                 work(s.size()-1);
64                 break;
65             }
66         }
67         if (!flagg)printf("-1");
68     }
69     return 0;
70 }