NOIP 模拟 $30\; \rm 毛一琛$

题解 \(by\;zj\varphi\)

如何判断一个集合可以被拆成两个相等的部分？

枚举两个集合，如果它们的和相等，那么他们的并集就是合法的，复杂度 \(\mathcal O\rm(3^n)\)

\(\rm\;meet\;in\;the\;middle\) 优化，将序列分成两段，枚举第一段的每个数加到哪个集合，用 \(\rm hash\) 表存一下。

在后半部分扫完后，再扫前面的每个集合，得到答案。

复杂度 \(\mathcal O\rm (3^\frac{n}{2}+6^\frac{n}{2})\)

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define ri register signed
#define p(i) ++i
namespace IO{
    char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
    #define gc() p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?(-1):*p1++
    struct nanfeng_stream{
        template<typename T>inline nanfeng_stream &operator>>(T &x) {
            ri f=1;x=0;register char ch=gc();
            while(!isdigit(ch)) {if (ch=='-') f=0;ch=gc();}
            while(isdigit(ch)) {x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=gc();}
            return x=f?x:-x,*this;
        }
    }cin;
}
using IO::cin;
namespace nanfeng{
    #define FI FILE *IN
    #define FO FILE *OUT
    template<typename T>inline T cmax(T x,T y) {return x>y?x:y;}
    template<typename T>inline T cmin(T x,T y) {return x>y?y:x;}
    static const int N=25;
    int a[N],hl,al,ans,n;
    bool vs[N],vis[1<<10][1<<10];
    struct Hash{
        static const int MOD=1e8+7;
        int first[MOD],t=1;
        struct edge{int w,st,nxt;}e[(int)6e5];
        inline int MD(int x) {return x>=MOD?x-MOD:x;}
        inline void insert(int x,int st) {
            int hd=MD(x%MOD+MOD);
            for (ri i(first[hd]);i;i=e[i].nxt) if (e[i].st==st&&e[i].w==x) return;
            e[t].w=x,e[t].st=st,e[t].nxt=first[hd],first[hd]=t++;
        }
        inline int query(int x,int st) {
            int hd=MD(x%MOD+MOD),res(0);
            for (ri i(first[hd]);i;i=e[i].nxt) {
                if (e[i].w!=x||vis[e[i].st][st]) continue;
                vis[e[i].st][st]=1;
                p(res);
            }
            return res;
        }
    }H;
    void dfs1(int x,int w) {
        if (x==hl+1) {
            ri st(vs[1]);
            for (ri i(2);i<=hl;p(i)) st=st<<1|vs[i];
            H.insert(w,st);
            return;
        }
        vs[x]=0;
        dfs1(x+1,w);
        vs[x]=1;
        dfs1(x+1,w+a[x]);
        dfs1(x+1,w-a[x]);
    }
    void dfs2(int x,int w) {
        if (x==n+1) {
            ri st(0);
            for (ri i(hl+1);i<=n;p(i)) st=st<<1|vs[i];
            ans+=H.query(w,st);
            return;
        }
        vs[x]=0;
        dfs2(x+1,w);
        vs[x]=1;
        dfs2(x+1,w+a[x]);
        dfs2(x+1,w-a[x]);
    }
    inline int main() {
        //FI=freopen("nanfeng.in","r",stdin);
        //FO=freopen("nanfeng.out","w",stdout);
        cin >> n;
        for (ri i(1);i<=n;p(i)) cin >> a[i];
        hl=n>>1;
        al=n-hl;
        dfs1(1,0);
        dfs2(hl+1,0);
        printf("%d\n",ans-1);
        return 0;
    }
}
int main() {return nanfeng::main();}