Python数模笔记-PuLP库（2）线性规划进阶

1、基于字典的创建规划问题

　　上篇中介绍了使用 LpVariable 对逐一定义每个决策变量，设定名称、类型和上下界，类似地对约束条件也需要逐一设置模型参数。在大规模的规划问题中，这样逐个定义变量和设置模型参数非常繁琐，效率很低。Pulp 库提供了一种快捷方式，可以结合 Python语言的循环和容器，使用字典来创建问题。

　　（1）使用快捷方法建立一个规划问题，可以用字典类型（dict）建立多个变量，例如：

　　name = ['废料1', '废料2', '废料3', '废料4', '镍', '铬', '钼']

　　# A dictionary of the costs of each of the Ingredients is created

　　mass = pulp.LpVariable.dicts("原料", material, lowBound=0, cat='Continuous')

　　（2）使用字典类型（dict）设置目标函数和约束条件的参数，例如：

　　cost = {

　　　　　　'废料1': 16,

　　　　　　'废料2': 10,

　　　　　　'废料3': 8,

　　　　　　'废料4': 9,

　　　　　　'镍': 48,

　　　　　　'铬': 60,

　　　　　　'钼': 53}

　　（3）使用遍历循环结构设置目标函数和约束条件，例如：

　　AlloyModel += pulp.lpSum([cost[item] * mass[item] for item in material]), "总生产成本"

　　AlloyModel += pulp.lpSum([mass[item] for item in material]) == 1000, "质量约束"

　　详细用法参见下节例程。

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2、线性规划问题案例

　　本篇以合金钢材生产投料问题为例，分析基于列表和字典创建问题的快捷方法。

问题描述：

　　某钢铁厂通过熔炼回收的金属废料并添加一定新料的方法生产满足化学成分要求的合金，计划生产1000千克的合金。

　　所有金属废料的主要成分是铁，不同金属废料还含有各种微量元素。

　　金属废料、新料的各组分含量占比、可用数量和单位成本如下表所示。生成合金中各组分的含量要求，也如表中所示。

　　问如何安排投料比例，在满足合金组分含量要求的条件下的材料成本最小？

材料	碳	镍	铬	钼	可用量	成本
废料1	0.80	18.0	12.0	0.0	75	16
废料2	0.70	3.2	1.1	0.1	250	10
废料3	0.85	0	0	0	不限	8
废料4	0.40	0	0	0	不限	9
镍	0	100	0	0	不限	48
铬	0	0	100	0	不限	60
钼	0	0	0	100	不限	53
合金下限	0.65	3.0	1.0	1.1	/	/
合金上限	0.75	3.5	1.2	1.3	/	/

3、建立模型

（1）决策变量

　　x1：废料 1 用量（千克）

　　x2：废料 2 用量（千克）

　　x3：废料 3 用量（千克）

　　x4：废料 4 用量（千克）

　　x5：原料镍用量（千克）

　　x6：原料铬用量（千克）

　　x7：原料钼用量（千克）

（2）目标函数：

　　min cost = 16*x1 + 10*x2 + 8*x3 + 9*x4 + 48*x5 + 60*x6 + 53*x7

（3）约束条件：

　　0.8*x1 + 0.7*x2 + 0.85*x3 + 0.40*x4 >= 0.65*1000

　　0.8*x1 + 0.7*x2 + 0.85*x3 + 0.40*x4 <= 0.75*1000

　　18.0*x1 + 3.2*x2 + 100.0*x5 >= 3.0*1000

　　18.0*x1 + 3.2*x2 + 100.0*x5 <= 3.5*1000

　　12.0*x1 + 1.1*x2 + 100.0*x6 >= 1.0*1000

　　12.0*x1 + 1.1*x2 + 100.0*x6 >= 1.2*1000

　　0.1*x2 + 100.0*x7 >= 1.1*1000

　　0.1*x2 + 100.0*x7 >= 1.3*1000

（4）变量取值范围：

　　xi >= 0, i=1,2,...7

　　x1 <= 75, x2 <= 250

4、PuLP 程序 1：使用 LpVariable 逐一定义变量

　　本程序与上篇的方法相同，使用 LpVariable 逐一定义变量。完整的程序代码如下：

    import pulp      # 导入 pulp库

    # 1.建立优化问题 AlloyLP: 求最小值(LpMinimize)

    AlloyLP = pulp.LpProblem("合金生产材料优化", sense=pulp.LpMinimize)    # 定义问题，求最小值

    # 2.定义决策变量 x1~x7

    x1 = pulp.LpVariable('废料1#', lowBound=0, upBound=75.0, cat='Continuous')  # 定义 x1

    x2 = pulp.LpVariable('废料2#', lowBound=0, upBound=250., cat='Continuous')  # 定义 x2

    x3 = pulp.LpVariable('废料3#', lowBound=0, cat='Continuous')  # 定义 x3

    x4 = pulp.LpVariable('废料4#', lowBound=0, cat='Continuous')  # 定义 x4

    x5 = pulp.LpVariable('原料镍', lowBound=0, cat='Continuous')  # 定义 x5

    x6 = pulp.LpVariable('原料铬', lowBound=0, cat='Continuous')  # 定义 x6

    x7 = pulp.LpVariable('原料钼', lowBound=0, cat='Continuous')  # 定义 x7

    # 3.定义目标函数 cost

    AlloyLP += (16*x1 + 10*x2 + 8*x3 + 9*x4 + 48*x5 + 60*x6 + 53*x7)  # 投料成本

    # 4.设置约束条件

    AlloyLP += (x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 == 1000)  # 等式约束

    AlloyLP += (0.8*x1 + 0.7*x2 + 0.85*x3 + 0.4*x4 >= 0.65*1000)  # 不等式约束

    AlloyLP += (0.8*x1 + 0.7*x2 + 0.85*x3 + 0.4*x4 <= 0.75*1000)  # 不等式约束

    AlloyLP += (18.0*x1 + 3.2*x2 + 100.0*x5 >= 3.0*1000)  # 不等式约束

    AlloyLP += (18.0*x1 + 3.2*x2 + 100.0*x5 <= 3.5*1000)  # 不等式约束

    AlloyLP += (12.0*x1 + 1.1*x2 + 100.0*x6 >= 1.0*1000)  # 不等式约束

    AlloyLP += (12.0*x1 + 1.1*x2 + 100.0*x6 <= 1.2*1000)  # 不等式约束

    AlloyLP += (0.1*x2 + 100.0*x7 >= 1.1*1000)  # 不等式约束

    AlloyLP += (0.1*x2 + 100.0*x7 <= 1.3*1000)  # 不等式约束

    AlloyLP += (x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 == 1000)  # 等式约束

    # 5.求解线性规划问题

    AlloyLP.solve()

    # 6.输出优化结果

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    print(AlloyLP)  # 输出问题设定参数和条件

    # print("求解状态:", pulp.LpStatus[AlloyLP.status])  # 输出求解状态

    for v in AlloyLP.variables():

        print(v.name, " = ", v.varValue)  # 输出每个变量的最优值

    print("最小材料成本 = ", pulp.value(AlloyLP.objective))  # 输出最优解的目标函数值

5、PuLP 程序 2：使用 dict 定义决策变量和约束条件

　　本程序使用 dict 定义变量、目标函数和约束条件参数，便于复杂问题的参数设定。

    import pulp      # 导入 pulp库

    # 1. 建立问题

    AlloyModel = pulp.LpProblem("钢材生产问题", pulp.LpMinimize)

    # 2. 建立变量

    material = ['废料1', '废料2', '废料3', '废料4', '镍', '铬', '钼']

    mass = pulp.LpVariable.dicts("原料", material, lowBound=0, cat='Continuous')

    # 3. 设置目标函数

    cost = {

        '废料1': 16,

        '废料2': 10,

        '废料3': 8,

        '废料4': 9,

        '镍': 48,

        '铬': 60,

        '钼': 53}

    AlloyModel += pulp.lpSum([cost[item] * mass[item] for item in material]), "总生产成本"

    # # 4. 施加约束

    carbonPercent = {

        '废料1': 0.8,

        '废料2': 0.7,

        '废料3': 0.85,

        '废料4': 0.4,

        '镍': 0,

        '铬': 0,

        '钼': 0}

    NiPercent = {

        '废料1': 18,

        '废料2': 3.2,

        '废料3': 0,

        '废料4': 0,

        '镍': 100,

        '铬': 0,

        '钼': 0}

    CrPercent = {

        '废料1': 12,

        '废料2': 1.1,

        '废料3': 0,

        '废料4': 0,

        '镍': 0,

        '铬': 100,

        '钼': 0}

    MoPercent = {

        '废料1': 0,

        '废料2': 0.1,

        '废料3': 0,

        '废料4': 0,

        '镍': 0,

        '铬': 0,

        '钼': 100}

    AlloyModel += pulp.lpSum([mass[item] for item in material]) == 1000, "质量约束"

    AlloyModel += pulp.lpSum([carbonPercent[item] * mass[item] for item in material]) >= 0.65*1000, "碳最小占比"

    AlloyModel += pulp.lpSum([carbonPercent[item] * mass[item] for item in material]) <= 0.75*1000, "碳最大占比"

    AlloyModel += pulp.lpSum([NiPercent[item] * mass[item] for item in material]) >= 3.0*1000, "镍最小占比"

    AlloyModel += pulp.lpSum([NiPercent[item] * mass[item] for item in material]) <= 3.5*1000, "镍最大占比"

    AlloyModel += pulp.lpSum([CrPercent[item] * mass[item] for item in material]) >= 1.0*1000, "铬最小占比"

    AlloyModel += pulp.lpSum([CrPercent[item] * mass[item] for item in material]) <= 1.2*1000, "铬最大占比"

    AlloyModel += pulp.lpSum([MoPercent[item] * mass[item] for item in material]) >= 1.1*1000, "钼最小占比"

    AlloyModel += pulp.lpSum([MoPercent[item] * mass[item] for item in material]) <= 1.3*1000, "钼最大占比"

    AlloyModel += mass['废料1'] <= 75, "废料1可用量"

    AlloyModel += mass['废料2'] <= 250, "废料2可用量"

    # 5. 求解

    AlloyModel.solve()

    # 6. 打印结果

    print(AlloyModel)  # 输出问题设定参数和条件

    print("优化状态:", pulp.LpStatus[AlloyModel.status])

    for v in AlloyModel.variables():

        print(v.name, "=", v.varValue)

    print("最优总成本 = ", pulp.value(AlloyModel.objective))

3、Python程序和运行结果

　　程序 1 和程序 2 的运行结果完全相同，结果如下：

Welcome to the CBC MILP Solver

Version: 2.9.0

Build Date: Feb 12 2015 

钢材生产问题:

MINIMIZE

16*原料_废料1 + 10*原料_废料2 + 8*原料_废料3 + 9*原料_废料4 + 53*原料_钼 + 60*原料_铬 + 48*原料_镍 + 0

SUBJECT TO

质量约束: 原料_废料1 + 原料_废料2 + 原料_废料3 + 原料_废料4 + 原料_钼 + 原料_铬 + 原料_镍 = 1000

碳最小占比: 0.8 原料_废料1 + 0.7 原料_废料2 + 0.85 原料_废料3 + 0.4 原料_废料4 >= 650

碳最大占比: 0.8 原料_废料1 + 0.7 原料_废料2 + 0.85 原料_废料3 + 0.4 原料_废料4 <= 750

镍最小占比: 18 原料_废料1 + 3.2 原料_废料2 + 100 原料_镍 >= 3000

镍最大占比: 18 原料_废料1 + 3.2 原料_废料2 + 100 原料_镍 <= 3500

铬最小占比: 12 原料_废料1 + 1.1 原料_废料2 + 100 原料_铬 >= 1000

铬最大占比: 12 原料_废料1 + 1.1 原料_废料2 + 100 原料_铬 <= 1200

钼最小占比: 0.1 原料_废料2 + 100 原料_钼 >= 1100

钼最大占比: 0.1 原料_废料2 + 100 原料_钼 <= 1300

废料1可用量: 原料_废料1 <= 75

废料2可用量: 原料_废料2 <= 250

VARIABLES

原料_废料1 Continuous

原料_废料2 Continuous

原料_废料3 Continuous

原料_废料4 Continuous

原料_钼 Continuous

原料_铬 Continuous

原料_镍 Continuous

优化状态: Optimal

原料_废料1 = 75.0

原料_废料2 = 90.909091

原料_废料3 = 672.28283

原料_废料4 = 137.30808

原料_钼 = 10.909091

原料_铬 = 0.0

原料_镍 = 13.590909

最优总成本 =  9953.671725000002

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