【BZOJ 1367】 1367: [Baltic2004]sequence （可并堆-左偏树）

1367: [Baltic2004]sequence

Description

Input

Output

一个整数R

Sample Input

7
9
4
8
20
14
15
18

Sample Output

13

HINT

所求的Z序列为6,7,8,13,14,15,18.
R=13

Source

【分析】

　　这题主要是要证明结论。详见hyh的论文。

　　先说说结论做法：

　　把序列分成m个区间，每个区间最后到达的值都是u。u为这个区间所有数的中位数。

　　先做一个小小的转化，题目要求b1<b2<...b3,可以变成b1-1<=b2-2<=b3-3<=...bi-i...【经典的标号的加减，加上一个等号

　　然后是这样做：

假设我们已经找到前 k 个数 a[1], a[2], … , a[k] (k<n) 的最优解，得到 m 个区间组成的队列，对应的解为 (w[1],w[2],…,w[m])，现 在要加入 a[k+1]，并求出前 k+1 个数的最优解。首先我们把 a[k+1] 作为一个新区 间直接加入队尾，令 w[m+1]=a[k+1]，然后不断检查队尾两个区间的解 w[m] 和
w[m+1]，如果 w[m] >w[m+1]，我们需要将最后两个区间合并，并找出新区间的
最优解（也就是序列 a 中，下标在这个新区间内的各项的中位数）。重复这个合
并过程，直至 w[1] ≤ w[2] ≤ … ≤ w[m] 时结束，然后继续处理下一个数。

　　正确性证明：

　　若某序列前半部分 a[1], a[2], … , a[n] 的最优解为 (u,u,…,u)，后半部分a[n+1], a[n+2], ... , a[m] 的最优解为 (v,v,…,v)，那么整个序列的最优解是什么
呢？

　　若 u≤ v，显然整个序列的最优解为 (u,u,…,u,v,v,…,v) 。

　　否则，设整个序列的最优解为 ( b[1],b[2],…,b[m] )，则显然 b[n] ≤ u（否则我们把前半部分的解( b[1],b[2], …,b[n]) 改为 (u,u,…,u)，由题设知整个序列的解不会变坏），同理b[n+1] ≥ v。

　　接下来，我们将看到下面这个事实：
对于任意一个序列 a[1] ,a[2],…,a[n]，如果最优解为 (u,u,…,u)，那么在满足u≤ u′≤ b[1] 或 b[n] ≤ u′≤ u 的情况下， (b[1],b[2],…,b[n]) 不会比 ( u′ ,u′ ,…,u′ )
更优。

　　我们用归纳法证明 u≤ u′≤ b[1] 的情况， b[n] ≤ u′≤ u 的情况可以类似证明。

　　当 n=1 时， u=a[1]，命题显然成立。
当n>1 时，假设对于任意长度小于n的序列命题都成立，现在证明对于长度
为n的序列命题也成立。

　　首先把 (b[1], b[2], … b[n]) 改为 (b[1], b[1], … b[1])，这
一改动将不会导致解变坏，因为如果解变坏了，由归纳假设可知a[2],a[3],…,a[n]
的中位数w>u，这样的话，最优解就应该为(u,u,…,u,w,w,…,w)，矛盾。

　　然后我们再把(b[1],b[1],…,b[1])改为 ( u′ ,u′ ,…,u′ )，由于 | a[1] - x | + | a[2] - x | + …+ | a[n] - x | 的几何意义为数轴上点x到点a[1], a[2], … a[n] 的距离之和，且u≤ u′≤ b[1]，显然点u′ 到各点的距离之和不会比点b[1] 到各点的距离之和大，也
就是说， (b[1],b[1],…,b[n]) 不会比 (v,v,…,v) 更优。（证毕）

　　再回到之前的论述，由于 b[n] ≤ u，作为上述事实的结论，我们可以得知，
将 ( b[1],b[2],…,b[n] ) 改为 (b[n],b[n],…,b[n])，再将 ( b[n+1],b[n+2],…,b[m])
改为 ( b[n+1],b[n+1], …,b[n+1])，并不会使解变坏。

也就是说，整个序列的最优
解为 ( b[n],b[n],…,b[n],b[n+1],b[n+1],…,b[n+1])。再考虑一下该解的几何意
义，设整个序列的中位数为 w，则显然令 b[n]=b[n+1]=w 将得到整个序列的最优
解，即最优解为 (w,w,…,w)。

　　（以上证明来自论文ORZ）

代码：

 #include<cstdio>
 #include<cstdlib>
 #include<cstring>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 #define Maxn 1000010
 #define LL long long

 int a[Maxn];

 int myabs(int x) {return x<?-x:x;}

 struct node
 {
     int v,siz,dis,lc,rc;
 }t[Maxn];

 struct Ltree
 {
     int cnt;
     int merge(int x,int y)
     {
         if(x==||y==) return x+y;
         if(t[x].v<t[y].v) swap(x,y);
         t[x].rc=merge(t[x].rc,y);
         t[x].siz=t[t[x].lc].siz+t[t[x].rc].siz+;
         if(t[t[x].rc].dis>t[t[x].lc].dis) swap(t[x].lc,t[x].rc);
         t[x].dis=t[t[x].rc].dis+;
         return x;
     }
     inline int top(int x) {return t[x].v;}
     inline int size(int x) {return t[x].siz;}
     inline void pop(int &x) {x=merge(t[x].lc,t[x].rc);}
     inline int add(int x)
     {
         t[++cnt].v=x;t[cnt].siz=;
         t[cnt].lc=t[cnt].rc=t[cnt].dis=;
         return cnt;
     }
 }heap;

 int rt[Maxn],tot[Maxn];//区间
 int l[Maxn],r[Maxn];

 int main()
 {
     int n;
     scanf("%d",&n);
     for(int i=;i<=n;i++) {scanf("%d",&a[i]);a[i]-=i;}
     int now=;
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         now++;
         rt[now]=heap.add(a[i]);
         l[now]=r[now]=i;tot[now]=;
         while(now>&&heap.top(rt[now-])>heap.top(rt[now]))
         {
             now--;
             rt[now]=heap.merge(rt[now],rt[now+]);
             tot[now]+=tot[now+];r[now]=r[now+];
             while(heap.size(rt[now])*>tot[now]+)
                 heap.pop(rt[now]);
         }
     }
     LL ans=;
     for(int i=;i<=now;i++)
     {
         int xx=heap.top(rt[i]);
         for(int j=l[i];j<=r[i];j++)
         {
           ans+=myabs(a[j]-xx);
         }
     }
     printf("%lld\n",ans);
     return ;
 }

2017-01-16 15:30:21

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左偏树：(上面的这份代码的左偏树还少了O(n)构建的部分。)

概念：

　　优先队列 

　　优先队列(Priority Queue)是一种抽象数据类型(ADT)，它是一种容器，里面 有一些元素，这些元素也称为队列中的节点(node)。优先队列的节点至少要包含 一种性质：有序性，也就是说任意两个节点可以比较大小。为了具体起见我们假 设这些节点中都包含一个键值(key)，节点的大小通过比较它们的键值而定。优 先队列有三个基本的操作：插入节点(Insert)，取得最小节点(Minimum) 和删除 最小节点(Delete-Min)。

　　可并堆

　　可并堆(Mergeable Heap)也是一种抽象数据类型，它除了支持优先队列的三 个基本操作(Insert, Minimum, Delete-Min)， 还支持一个额外的操作——合并操作。

　　左偏树

　　左偏树(Leftist Tree)是一种可并堆的实现。左偏树是一棵二叉树，它的节点 除了和二叉树的节点一样具有左右子树指针( left, right ) 外，还有两个属性：键值 和距离(dist)。

　　1、外节点：节点 i 称为外节点(external node)，当且仅当节点 i 的左子树或右子树为空 ( left(i) = NULL 或 right(i) = NULL )；
　　2、距离：点 i 的距离( dist( i ) ) 是节点 i 到它的后代 中，最近的外节点所经过的边数。特别的，如果节点 i 本身是外节点，则它的距 离为 0；而空节点的距离规定为-1 (dist(NULL) = -1)。在本文中，有时也提到一 棵左偏树的距离，这指的是该树根节点的距离。

左偏树的性质：

[性质 1] 节点的键值小于或等于它的左右子节点的键值。
[性质 2] 节点的左子节点的距离不小于右子节点的距离。
[性质 3] 节点的距离等于它的右子节点的距离加 1。
[引理 1] 若左偏树的距离为一定值， 则节点数最少的左偏树是完全二叉树。
[定理 1] 若一棵左偏树的距离为k，则这棵左偏树至少有 2k+1-1 个节点。
[性质 4] 一棵 N 个节点的左偏树距离最多为 [log(N+1)]-1。

性质4决定了左偏树的时间复杂度是较低的。

左偏树的合并：

int merge(int x,int y)
{
	if(x==0||y==0) return x+y;
	if(t[x].v<t[y].v) swap(x,y);
	t[x].rc=merge(t[x].rc,y);
	t[x].siz=t[t[x].lc].siz+t[t[x].rc].siz+1;
	if(t[t[x].rc].dis>t[t[x].lc].dis) swap(t[x].lc,t[x].rc);
	t[x].dis=t[t[x].rc].dis+1;
	return x;
}

删除：

inline void pop(int &x) {x=merge(t[x].lc,t[x].rc);}

添加一个节点形成一颗新的左偏树：

inline int add(int x)
{
	t[++cnt].v=x;t[cnt].siz=1;
	t[cnt].lc=t[cnt].rc=t[cnt].dis=0;
	return cnt;
}

各种堆的比较：

左偏树真是真短真美丽233

2017-01-16 16:08:10