Union-Find(并查集): Union-Find Application

Union-find 可以应用在很多方面

之前我们看到了union-find在dynamic connectivity上的应用，接下来介绍它在percolation上的应用。

union-find在Kruskal's minumum spanning tree algorithm(一种图像处理算法)上也有应用(之后会介绍)

Percolation问题

percolate问题是很多物理系统的模型。

白色代表是open site,黑色是blocked site。如果从顶到底可以由open sites相连，则它是percolates,否则不是percolate.

percolation model的一些例子

可以用来判断一个物体是否导电,可以判断一个物体是否渗水，还可以用来判断两个人之间是否有联系。

medium vacancy是否percolation

如果vacancy的概率是low(0.4)，则由上图可知，它是not percolate

如果vacancy的概率是medium(0.6)，则由上图可知，它可能percolate,也可能不会。

如果vacancy的概率是high(0.8)，则由上图可知，它是percolate.

那么当我们遇到medium vacancy时，我们怎么才能知道是否是percolate呢？

Percolation phase transition(相变):如何找到这个threshold P*(临界点)

Monte Carlo simulation:有计算机来解决找到这个threshold P*的问题

初使化时都是blocked,随机的使site变成open,直到它成为percolation时的vacancy比率，即为p*

我们可以在计算机上对这个模拟运行很多次来计算，找到这个P*在数学上是不可以实现的，但是在计算机上却是可以实现

用dynamic connectivity来估计P*  

         

看上面的一排与底下的一排是否相连，但是这样做并不好，因为这样会运行n²次connected来判断，导致运行非常慢，那么我们该怎么办呢？

如右图所示，我们创建两个虚拟的site(virtual top site和virtual bottom site),这样只需要判断top site与bottom site是否相连就可以了。（只需要运行一次connected()）

用dynamic connectivity来估计P* :怎么model opening a new site

当opening a new site时，将它与邻近的也是open的site的相连(最多4个),通过调用union操作来执行

Percolation threshold

这样我们通过运行这个simulation来计算出这个P*(这在数学上是不可能计算出来的)，我们只有通过fast的算法才能实现这个问题（因为这类问题的N与M一般来说都很大）

总结

通过以上这些我们可以看到解决问题的基本步骤，首先我们会对问题进行建模，将问题抽象出来；

然后找到算法来实现它，之前介绍的quick-find 与quick-union算法都不是好的算法（对于解决huge problem来说），故我们不断的通过迭代来寻找高效的算法，即weighted quick-union with path compression