LOJ 3159: 「NOI2019」弹跳

题目传送门：LOJ #3159。

题意简述：

二维平面上有 \(n\) 个整点，给定每个整点的坐标 \((x_i,y_i)\)。

有 \(m\) 种边，第 \(i\) 种边从 \(p_i\) 号点连向满足 \(l_i\le x_j\le r_i\) 和 \(d_i\le y_j\le u_i\) 的点 \(j\)，即一个矩形范围内的所有点。

求 \(1\) 号点到其它每个点的最短路长度。

题解：

考虑 Dijkstra 算法求最短路的过程：

一开始只有起点的距离为 \(0\)，而其它点距离为无限大。

每次取出一个距离最短的没被更新过的点，用它更新它能到达的所有未被更新过的点的距离，并将其标记为已被更新。

重复这个过程直到所有点均被更新。

上述过程一般使用单调队列来维护距离最短的点。

而在此题中，一次更新时可能加入的点会有很多很多，不能每次将其一并加入。

可以考虑加入一条边而非点，加入的这条边就代表了这条边连向的所有点的距离。

类似地，每次取出距离最短的边，此时这条边代表的矩形内部的所有点均可以进行更新，因为只会去更新未被更新过的点，所以更新完这些点的距离后，可以把这些点全部删除。

上述方法是最短路中包含“一对多”，“多对多”的边时的处理办法。还有一种方法是使用数据结构模型优化建边，但是一般不会比这种方法来得优。

至于具体如何维护矩形删点操作，删点时可以暴力一个个删除，因为每个点只会被删除一次，问题在于如何快速找到要删除的点。

这里我使用线段树套平衡树（std::set）维护，外层线段树处理横坐标上的区间，内层平衡树可以快速访问目标点将其删除。

下面是代码，时间复杂度为 \(\mathcal{O}(n\log^2n+m\log m)\)：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>
#include <set>

#define mp std::make_pair
typedef std::pair<int, int> pii;
typedef std::multiset<pii>::iterator iter;
const int MN = 70005, MM = 150005;
const int MS = 1 << 18 | 7;

int N, M, W, H, yp[MN], vis[MN], dis[MN];
int h[MN], nxt[MM], et[MM], eL[MM], eR[MM], eD[MM], eU[MM];
std::multiset<pii> st[MS];
std::priority_queue<pii> pq;
void Ins(int i, int l, int r, int x, int id) {
	st[i].insert(mp(yp[id], id));
	if (l == r) return ;
	int mid = (l + r) >> 1;
	if (x <= mid) Ins(i << 1, l, mid, x, id);
	else Ins(i << 1 | 1, mid + 1, r, x, id);
}
void Del(int i, int l, int r, int id, int d) {
	if (r < eL[id] || eR[id] < l) return ;
	if (eL[id] <= l && r <= eR[id]) {
		iter it = st[i].lower_bound(mp(eD[id], 0)), tmp;
		while (it != st[i].end() && it -> first <= eU[id]) {
			int u = it -> second;
			if (!vis[u]) {
				vis[u] = 1, dis[u] = d;
				for (int j = h[u]; j; j = nxt[j])
					pq.push(mp(-d - et[j], j));
			}
			tmp = it, ++it, st[i].erase(tmp);
		}
		return ;
	}
	int mid = (l + r) >> 1;
	Del(i << 1, l, mid, id, d);
	Del(i << 1 | 1, mid + 1, r, id, d);
}

int main() {
	freopen("jump.in", "r", stdin);
	freopen("jump.out", "w", stdout);
	scanf("%d%d%d%d", &N, &M, &W, &H);
	for (int i = 1, x; i <= N; ++i) {
		scanf("%d%d", &x, &yp[i]);
		Ins(1, 1, W, x, i);
	}
	for (int i = 1, p; i <= M; ++i) {
		scanf("%d%d%d%d%d%d", &p, &et[i], &eL[i], &eR[i], &eD[i], &eU[i]);
		nxt[i] = h[p], h[p] = i;
	}
	dis[1] = 0, vis[1] = 1;
	for (int i = h[1]; i; i = nxt[i])
		pq.push(mp(-et[i], i));
	while (!pq.empty()) {
		pii ed = pq.top(); pq.pop();
		int dis = -ed.first, id = ed.second;
		Del(1, 1, W, id, dis);
	}
	for (int i = 2; i <= N; ++i) printf("%d\n", dis[i]);
	return 0;
}