LOJ 3156: 「NOI2019」回家路线

题目传送门：LOJ #3156。

题意简述：

有一张 \(n\) 个点 \(m\) 条边的有向图，边有两个权值 \(p_i\) 和 \(q_i\)（\(p_i<q_i\)）表示若 \(p_i\) 时刻在这条边的起点，则 \(q_i\) 时刻能到达这条边的终点。

你需要规划一条路线，使得从起点 \(1\) 号点出发，沿着这条路线到达终点 \(n\) 号点。

假设路线依次经过的边为 \(\{a_1,a_2,\ldots,a_k\}\)，则需要保证 \(q_{a_{i-1}}\le p_{a_i}\)。

而这条路线的代价是 \(\displaystyle q_{a_k}+\sum_{i=2}^{k}f(p_{a_i}-q_{a_{i-1}})+f(p_{a_1})\)，其中 \(f(x)=\mathrm{A}x^2+\mathrm{B}x+\mathrm{C}\)。

你需要使得你规划的路径的代价最小，输出这个最小代价。

题解：

转移之间的代价是一个二次函数，这是显然的斜率优化 DP 模型。

考虑 \(\mathrm{f}[i]\) 表示经过第 \(i\) 条边后的 \(\sum f(p_{a_j}-q_{a_{j-1}})\)，化简式子：

\[\begin{aligned}\mathrm{f}[i]&=\min_{y_j=x_i,q_j\le p_i}\{\mathrm{f}[j]+\mathrm{A}(p_i-q_j)^2+\mathrm{B}(p_i-q_j)+\mathrm{C}\}\\&=\min_{y_j=x_i,q_j\le p_i}\{\mathrm{f}[j]+\mathrm{A}p_i^2-2\mathrm{A}p_iq_j+\mathrm{A}q_j^2+\mathrm{B}p_i-\mathrm{B}q_j+\mathrm{C}\}\\&=\min_{y_j=x_i,q_j\le p_i}\{\mathrm{f}[j]+\mathrm{A}q_j^2-\mathrm{B}q_j-2\mathrm{A}p_iq_j\}+\mathrm{A}p_i^2+\mathrm{B}p_i+\mathrm{C}\end{aligned}
\]

其中斜率的表达式是显然的，\(x\) 坐标是 \(q_i\)，\(y\) 坐标是 \(\mathrm{f}[i]+\mathrm{A}q_i^2-\mathrm{B}q_i\)，令 \(\mathrm{D}_i=\mathrm{A}p_i^2+\mathrm{B}p_i+\mathrm{C}\)，

则 \(\displaystyle\mathrm{f}[i]=\mathrm{D}_i+\min_{y_j=x_i,q_j\le p_i}\{y_j-2\mathrm{A}p_ix_j\}\)。

考察两个合法转移点 \(j\) 和 \(k\)（\(x_j<x_k\)），转移点 \(j\) 比转移点 \(k\) 优当且仅当：

\[\begin{aligned}y_j-2\mathrm{A}p_ix_j&<y_k-2\mathrm{A}p_ix_k\\2\mathrm{A}p_i(x_k-x_j)&<y_k-y_j\\\frac{y_k-y_j}{x_k-x_j}&>2\mathrm{A}p_i\end{aligned}
\]

因为不等号是大于号，所以维护下凸壳。

注意，为了方便，更新顺序为按照 \(p_i\) 从小到大，这样右侧斜率是递增的，但是并不能更新完立刻加入凸壳，而是应该等到轮到相应的 \(p_i\) 时再加入。

以下是代码，时间复杂度为 \(\mathcal{O}(n+m+\max q)\)：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <vector>

typedef double db;
const int MN = 100005, MM = 200005, MQ = 1005;

int N, M, _A, _B, _C, Ans = 0x3f3f3f3f;
int d[MN], eu[MM], ev[MM], ep[MM], eq[MM];
std::vector<int> vp[MQ], vq[MQ];
int X[MM], Y[MM], f[MM];
int _stk[MM], *stk[MN], _l[MN], _r[MN];

inline db Slope(int i, int j) {
	if (X[i] == X[j]) return Y[i] == Y[j] ? 0 : Y[i] < Y[j] ? 1e99 : -1e99;
	return (db)(Y[j] - Y[i]) / (X[j] - X[i]);
}

int main() {
	freopen("route.in", "r", stdin);
	freopen("route.out", "w", stdout);
	scanf("%d%d%d%d%d", &N, &M, &_A, &_B, &_C);
	ev[0] = 1, vq[0].push_back(0), ++d[1];
	for (int i = 1; i <= M; ++i) {
		scanf("%d%d%d%d", &eu[i], &ev[i], &ep[i], &eq[i]);
		vp[ep[i]].push_back(i);
		vq[eq[i]].push_back(i);
		++d[ev[i]];
	}
	stk[0] = _stk;
	for (int i = 1; i <= N; ++i) stk[i] = stk[i - 1] + d[i - 1], _l[i] = 1;
	for (int t = 0; t <= 1000; ++t) {
		for (auto i : vq[t]) {
			int u = ev[i], *st = stk[u], l = _l[u], &r = _r[u];
			while (l < r && Slope(st[r - 1], st[r]) > Slope(st[r], i)) --r;
			st[++r] = i;
			if (u == N && Ans > f[i] + eq[i]) Ans = f[i] + eq[i];
		}
		for (auto i : vp[t]) {
			int u = eu[i], *st = stk[u], &l = _l[u], r = _r[u];
			while (l < r && Slope(st[l], st[l + 1]) < 2 * _A * t) ++l;
			if (l <= r) f[i] = Y[st[l]] - 2 * _A * t * X[st[l]] + _A * t * t + _B * t + _C;
			else f[i] = 0x3f3f3f3f;
			X[i] = eq[i], Y[i] = f[i] + _A * eq[i] * eq[i] - _B * eq[i];
		}
	}
	printf("%d\n", Ans);
	return 0;
}