概率dp - Uva 10900 So you want to be a 2n-aire?

So you want to be a 2n-aire?

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Mean:

玩一个答题赢奖金的游戏，一开始有1块钱，玩n次，每次赢的概率为t~1之间的某个实数.

给定n和t，求最终能够获得奖金的最大期望值.

analyse:

假设玩家已经答对了第i题，那么当前的奖金应该为2^i.

现在开始第i+1题，是选择放弃还是答题呢？

设答第i+1题正确的概率为p，ex[i+1]表示考虑前1~i+1题最大的收益期望.

如果p*ex[i+1]>2^i，那么肯定是选择答;否则结束游戏.

由此可得，临界概率为bp=2^i/ex[i-1].

画一条[0,1]的数轴，讨论bp和t的关系.

如果t>bp，显然p*ex[i+1]>2^i成立，此时ex[i+1]=ex[i]*(1+t)/2;

否则，需要分两段来考虑：

此时：ex[i+1] = (bp-t)/(1-t) * 2^i + (1-bp)/(1-t) * (1+bp)/2 * ex[i];

Time complexity: O(N)

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