[uva 11762]Race to 1[概率DP]

引用自:http://hi.baidu.com/aekdycoin/item/be20a91bb6cc3213e3f986d3,有改动

题意:
已知D, 每次从[1,D] 内的所有素数中选择一个Ni, 如果D = 0(mod Ni), 那么D /= Ni,否则D不变(可以看成是每一轮 D/= GCD(D,Ni) )

思路:
概率DP
令 dp[ i ] 表示 D = i 的时候的期望, 即从i 转移到1 的次数期望. 我们有

p = kcnt[ i ] / cnt[ i ];

kcnt[ i ] 表示i 的素因子种类, cnt[ i ]表示[ 1..i ]内的素数总数, p 表示 D = i 时的D可以在一轮以后减小的概率, 而对于i 的每一种素因子, 取得他们的概率显然都为 1 / cnt[ i ]
假设Ni 是 i 的某个素因子.

fac[ k ]表示 i 的第 k 个质因子.
后半部分的求和表示从所有的子状态累加上来的期望.
前面则是考虑(1.0 - p)D不变化的情况.

得到kcnt[ ],cnt[ ],fac[ ]就可以得到dp[ ]
优化:
cnt[ ] 可以通过筛选素数以后累加得到
kcnt[ ] 也可以通过筛选素数类似的做法得到
fac[ ]显然也可以预处理得到
而由于处理fac[ i ]的时候需要分解得到 i 的素因子,这里我们继续做一个dpf, dpf[ i ]保存的是 i 的最小素因子, 这样就可以用类似于筛法的过程得到 i 的所有质因子

#include<cstdio>
using namespace std;
const int MAXN = 1000005;
const int MAXP = 100000;
bool ss[MAXN]= {1,1};///筛法求素的数组,前两位(0和1)先标记(没用)...标记代表被筛掉了
/*int p[MAXP],plen = 0;///p[i]表示第i个素数(好像没用)*/
int cnt[MAXN];///i以内素数个数
int kcnt[MAXN];///i的素因子种类数
int dpf[MAXN];///i的最小质因子
double dp[MAXN];///从i转移到1的期望
int fac[305],flen;
///求i的...
void process(int n)
{
    int i;
    int on = n;
    flen = 0;
    /*
    while(n!=1&&dpf[n]!=n)///没有到分解完毕并且下一步也不会分解完毕
    {
        if(flen == 0 ||dpf[n]!=fac[flen -1])///如果相同,则不记录,只继续除.
            fac[flen++] =dpf[n];///记录n的新的一种素因子(一个一个分解)
        n/=dpf[n];///除去这个素因子
    }
    if(dpf[n] == n)///如果即将分解完毕
        if(flen == 0 ||n!=fac[flen -1])///如果需要记录,则记录
            fac[flen++] = n;
    */
    while(n!=1)///没有分解完毕
    {
        if(flen == 0 ||dpf[n]!=fac[flen -1])///如果相同,则不记录,只继续除.
            fac[flen++] =dpf[n];///记录n的新的一种素因子(一个一个分解)
        n/=dpf[n];///除去这个素因子
    }
    n = on;
    for(i=0; i<flen; ++i)dp[n] += (dp[n/fac[i]]+1.0) / cnt[n];///sigma
}

void mklist()
{
    int i,j;
    dpf[1] = 0;
    for(i=2; i<MAXN; ++i)
        if(!ss[i])
            for(j=i; j<MAXN; j+=i)
            {
                if(!ss[j])
                    dpf[j] =i;///dpf[j]记录着j的最小素因子
                if(j!=i)
                    ss[j] = 1;///如果不是素数本身,就筛掉
            }
    cnt[0] = cnt[1] = 0;
    for(i=2; i<MAXN; ++i)///数组筛好了之后
        if(!ss[i])
            /*p[plen++]=i,*/
            cnt[i] = cnt[i-1]+1;
        else
            cnt[i] = cnt[i-1];
    for(i=2; i<MAXN; ++i)
        if(kcnt[i] == 0)///i为素数
            for(j=i; j<MAXN; j+=i)
                ++kcnt[j];///像筛法一样求每个数的素因子种类数
    dp[1] = 0.0;
    for(i=2; i<MAXN; ++i)
    {
        double p = 1.0*kcnt[i]/cnt[i];///总的转移的概率
        dp[i] = (1.0-p);///停留在原地的概率(公式整理得到)
        process(i);///把分解质因子和dp过程合在了一起
        dp[i] /= p;
    }
}

int main()
{
    mklist();
    int t;
    int idx = 0,n;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d",&n);
        ++idx;
        printf("Case %d: ",idx);
        printf("%.10lf\n",dp[n]);
    }
    return 0;
}

uva目前上不去...改日自己再交