解题报告：luogu P1516 青蛙的约会

题目链接：P1516 青蛙的约会

考察拓欧与推式子\(qwq\)。

题意翻译?

求满足

\[\begin{cases}md+x\equiv t\pmod{l}\\nd+y\equiv t\pmod{l}\end{cases}
\]

的最小整数解\(d\)。

我们设（以下均满足\(n\geqslant m\)）：

\[\begin{cases}md+x=y_1l+t\\nd+y=y_2l+t\end{cases}
\]

两式相减，即得：

\[(n-m)d+(y-x)=l(y_2-y_1)
\]

这样我们就把不确定的\(t\)消掉了！

我们再把它转化成模\(l\)意义的 :

\[(n-m)d\equiv x-y+l\pmod{l}
\]

扩欧解方程即可，无解即为\(Impossible\)。

时间复杂度是\(O(logn)\)，可以通过本题。

\(Code\):

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
long long l,x,y,m,n;
inline void exgcd(ll a,ll b)
{
	if(b==0)
	{
		x=1,y=0;
		return;
	}
	exgcd(b,a%b);
	ll t=x;
	x=y;
	y=t-a/b*y;
}
ll gcd(ll a,ll b){return b==0?a:gcd(b,a%b);}
void solve(ll a,ll b,ll c)
{
	ll g=gcd(a,b);
	if(c%g!=0)
	{
		printf("Impossible\n");
		return;
	}
	a/=g,b/=g,c/=g;
	exgcd(a,b);
	x=x*c;
	x=(x%b+b)%b;
	printf("%lld\n",x);
}
int main()
{
	scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&m,&n,&l);
	if(n<m) swap(x,y),swap(m,n);
	solve((n-m)%l,l,(x-y+l)%l);
	return 0;
}