《Mathematical Analysis of Algorithms》中有关“就地排列”(In Situ Permutation)的算法分析

问题描述

把数列\((x_1,x_2,\cdots,x_n)\)变换顺序为\((x_{p(1)},x_{p(2)},\cdots,x_{p(n)})\)，其中\(p\)是\(A=\{1,2,3,\cdots,n\}\)的一个排列，要求只使用\(O(1)\)的额外空间。例如，当数列为\((10,20,30,40)\),\(p\)为\((3,1,2,4)\)时得到的数列是\((30,10,20,40)\).

算法描述

对于映射\(p:A\rightarrow A\)，它的含义是“排列后的数组每个元素从哪里来”。即：变换后，数组下标\(k\)处的数从变换前的下标\(p(k)\)处来。变换后下标为\(p(k)\)处的数从变换前下标为\(p(p(k))\)处的数来……因此我们可以把这条变换的链记为：

\[k\leftarrow p(k)\leftarrow p(p(k))\leftarrow \cdots
\]

每一个下标都在唯一的一个“圈”内（原文这里的用词为"cycle"）。举个例子：

对于给定的一个排列：

\[p=(8,2,7,1,6,9,3,4,5)
\]

我们可以观察到这样的规律：

\[\left\{\begin{array}{l}p(1)=8,p(8)=4,p(4)=1\\p(2)=2\\p(3)=7,p(7)=3\\p(5)=6,p(6)=9,p(9)=5\end{array}\right.
\]

对于括号中的每一行。最后一个等式右侧的数在\(p\)映射下的像，等于第一个等式左侧\(p\)作用的原像。对于每一个这样的圈，我们都能用大小为\(O(1)\)的额外空间完成数字的交换。而这个交换我们从每个圈中的最小数开始做。

代码描述：

for (int j = 1;j <= n;j++) {
    int k = p(j);//n
    while (k > j) {//n+a
        k = p (k);//a
    }
    if(k == j) {
        int y = x[j],l = p[k];//b
        while (l != j) {//b+c
            x[k] = x[l];//c
            k = l;//c
            l = p(k);//c
        }
        x[k] = y;//b
    }
}
/*
 这里b是变换p中"圈"的个数,c+b=n
 a的含义是：对于每个j，在j所在的圈中第一个不大于j的数k距离p(j)的距离之和
 */

最坏情况

最坏的情况如下

\[p=(2,3,\cdots,n,1)\\a=(n-1)+(n-2)+\cdots +0=\frac{n^2-n}{2}\\b=1
\]

此为\(a\)的最坏情况和\(b\)的最好情况。

\[p=(1,2,\cdots,n-1,n)\\a=0\\b=n
\]

此为\(a\)的最好情况和\(b\)的最坏情况。

b的平均值分析

对于上面引用的\(p\)的实例：

\[p=(8,2,7,1,6,9,3,4,5)
\]

把所有的圈按照下述规则排列

1.圈内最小的数排在第一

2.圈内最小的数较大的，排在前面

则以上的\(p\)将变为\((5,6,9)(3,7)(2)(1,8,4)\),设\(q=(5,6,9,3,7,2,1,8,4)\).则这样的\(p\)到\(q\)的变换构成了一个排列到排列的双射。

这样，我们就可以把求\(b\)的值转化为求\(\{1,2,\cdots,n\}\)中满足\(q(j)=\min\{q(i)|i\le i \le j \}\)的\(j\)的个数。使得满足这样条件的\(j\)的个数为\(k\)的\(n\)元排列数共有\(\left[\begin{array}{c}n\\k\end{array}\right]\)种。（第一类Stirling数）

所以：

\[\overline{b}=\frac{\sum_{i=1}^n\left[\begin{array}{c}n\\i\end{array}\right]\times i}{n!}=H_n=\ln n+O(1)
\]

(当\(n\)充分大时，\(O(1)\)的值收敛到欧拉常数)

\[\sigma^2=H_n-H_n^{(2)}
\]

其中

\[H_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}\\H_n^{(2)}=1^2+(\frac{1}{2})^2+(\frac{1}{3})^2+\cdots+(\frac{1}{n})^2
\]

a的平均值分析

\[p=(8,2,7,1,6,9,3,4,5)\\q=(5,6,9,3,7,2,1,8,4)\\
\]

我们定义如下函数

\[y(i,j)=\left\{\begin{array}{l}1,\quad q(i)<q(k),\exist k \in (i,j]\\0,\quad else\end{array}\right.
\]

则

\[a=\sum_{1\le i<j\le n}y(i,j)
\]

而

\[\overline{y(i,j)}=\frac1{j-i+1}\\\overline a =\sum_{1\leq i<j\leq n}\overline{y(i,j)}=\sum_{1\leq i<j\leq n}\frac1{j-i+1}=\sum_{2\leq r\leq n}\frac{n+1-r}r
\]

其中,\(r=j-i+1\)

由上式：

\[\begin{aligned}\overline a&=\sum_{2\leq r\leq n}\frac 1r- \sum_{2\leq r\leq n}1\\&=(n+1)(H_n-1)-(n-1)\\&=(n+1)H_n-2n\\&=n\ln n +O(n)\\&=O(n\log n)+O(n)\end{aligned}
\]

\[\sigma^2=2n^2-(n+1)^2H_n^{(2)}-(n+1)H_n+4n
\]

由上面计算的\(b\)的均值\(\overline b=\ln n +O(1)=O(\log n)\)

所以算法的平均时间复杂度是\(O(n\log n)\)