【3D数学基础】三维空间折射向量计算

问题：在三维空间中，已知折射率 e 、入射角 L 和法线 N。

要求：计算出折射向量 T。

其中： L、 N 和 T 都为单位向量。

如图片所示，下面所有的公式都看着这张图片来求解的：

首先，我们必须了解折射定律：

因为 N、T、L都是单位向量，所以：

那么可以从图中看出：

接着，如图中所示，做出辅助向量 t1 、t2、l1、l2，他们满足于：

注意这里的 l2 、 t2 都是平行于 N 且反向的。l1 、 t1 都是垂直于 N 的。

接着有：

可得

那么：

而 l1 和 t1 是同向的，所以可以直接去掉绝对值：

另外，还有：（再强调一次，这里的 l2 、 t2 都是平行于 N 且反向的。l1 、 t1 都是垂直于 N 的。）

那么：

那么：

还需要求解 t2 ，又是利用 N 与 t2 方向相反且 N 为单位向量的条件：

那么现在可以写出答案了：

整理一下：

为什么要这样写呢？这是因为，我是按照 Nvidia 公司的 CG 手册给出的公式来整理的：

可以发现 cg 函数中的 refract 的 i 对应于我们的 L，n 对应于我们的 N ， eta 分量是对应于的我们这里的 1 / e。

为了对应于 cg 函数，我们这里用 w 代替  1/e，写出新的公式：

而对于 cg 函数中最后一句 return 语句的写法，是用来处理全反射现象的。

简而言之，cosθ₂ <= 0 的时候就发生了全反射现象。

其他解释可以看下面的黑体字，来自http://www.cnblogs.com/starfallen/archive/2012/11/05/2754992.html 我稍微做了调整：

由于在不同的情况下 e 的值是不同的，再配合上入射角θ₁取值，完全可以让1-(1/e²)(1-cos²θ₁)的值小于0，这样上面等式中的cosθ₂岂不是就无意义了？

而事实上，这正是全反射现象。当光线从光密介质进入光疏介质的时候，如果入射角大于某个临界角时，会发生全反射现象。这个临界角就是是折射角为90度时对应的入射角，也就是cosθ₂刚好等于0的时候。

参考资料：

1. http://www.cnblogs.com/starfallen/archive/2012/11/05/2754992.html

2. cg-3.1 参考手册 《Cg-3.1_April2012_ReferenceManual》，747 页，

http://developer.download.nvidia.com/cg/Cg_3.1/Cg-3.1_April2012_ReferenceManual.pdf