从矩阵的定义开始谈OpenGL矩阵变换

前言

最近自己想用C语言写一个Minecraft clone（GitHub链接：http://github.com/CharlesDong/m3c/），因为是现代OpenGL，又是C语言，GLM用不了，就要自己写OpenGL矩阵变换，发现自己对具体的变换也不了解，于是决定写一篇博客来总结.

矩阵的定义

先从2D场景说起.先从一个最简单的问题开始.

Q1：一个点P(x,y)它关于原点O的对称点为P'(x',y')，请问x'，y'与x，y有什么关系？

A1：

下面两个问题稍微难一些。

Q2：点绕O逆时针旋转45°，得到点P'(x', y')，求P'的坐标。

A2：设P坐标为P(x,y)，且满足

由题意

P旋转45°后得到P'(x',y')，由三角函数知识可得

由公式，可得

所以P'坐标为.

Q3：点P(x,y)绕O逆时针旋转且旋转角为α，得到P(x',y')，请问x'，y'与x，y有什么关系？

A3：设

则

即

设P(x,y)经过某种变换之后得到点P'(x',y')，且满足，则这种变换被称为线性变换（linear transformation）.为方便，我们把这种变换记作一个正方形数表

这种数表被称为矩阵（matrix）。这里这个数表是2x2的，因此被称为二阶矩阵。例如Q1中，矩阵为；Q2中，矩阵为Q3中，矩阵为。

为方便，我们将点P(x,y)理解为一个从O指向P的向量，将(x,y)称为向量OP的坐标。讨论矩阵时，可以认为点P和向量OP是等价的，不区分它们。点P(x,y)经过某种变换后得到点P'(x',y')，与向量v(x,y)经过某种变换后得到向量v'(x',y')两种说法等价。

像矩阵一样，(x,y)也可以写成一列的形式

这种形式的向量被称为列向量。

矩阵运算（矩阵乘向量）

如果向量v经过矩阵M的变换后得到一个新的向量v'，我们为方便，就会说向量v'是矩阵M与向量v的乘积，记为v'=Mv.注意矩阵要在前面，不能写成v'=vM.

如果矩阵M1，M2分别和向量v相乘（也就是向量v经过M1，M2的变换后），得到一个新的向量v'，记作.

矩阵运算（矩阵乘矩阵）

如果有3个矩阵M1、M2和M，对于向量v，M2M1v得到的结果和Mv相等，可以认为矩阵M1、M2所共同产生的变换等于矩阵M的变换。这种情况下，我们会说M1与M2的乘积等于M，用公式表示就是M1M2=M。

(to be continued)