【次小生成树】bzoj1977 [BeiJing2010组队]次小生成树 Tree

Description

小 C 最近学了很多最小生成树的算法，Prim 算法、Kurskal 算法、消圈算法等等。 正当小 C 洋洋得意之时，小 P 又来泼小 C 冷水了。小 P 说，让小 C 求出一个无向图的次小生成树，而且这个次小生成树还得是严格次小的，也就是说： 如果最小生成树选择的边集是 EM，严格次小生成树选择的边集是 ES，那么需要满足：(value(e) 表示边 e的权值) 这下小 C 蒙了，他找到了你，希望你帮他解决这个问题。

Input

第一行包含两个整数N 和M，表示无向图的点数与边数。 接下来 M行，每行 3个数x y z 表示，点 x 和点y之间有一条边，边的权值为z。

Output

包含一行，仅一个数，表示严格次小生成树的边权和。(数据保证必定存在严格次小生成树)

Sample Input

5 6
1 2 1
1 3 2
2 4 3
3 5 4
3 4 3
4 5 6

Sample Output

11

HINT

数据中无向图无自环； 50% 的数据N≤2 000 M≤3 000； 80% 的数据N≤50 000 M≤100 000； 100% 的数据N≤100 000 M≤300 000 ，边权值非负且不超过 10^9 。

题解

就是求严格次小生成树

目前常见做法是先用Kurskal求出最小生成树

然后枚举不在树上的边，试着把它连到树上，找到形成的环上边权最大但不等于新加的边权的一条边，计算出（最小生成树权值+新加边边权-找到的最大）

对每条不在最小生成树上的边计算过之后再取min就是结果

而要求形成的环上边权最大但不等于新加的边权的一条边，我们就可以用树剖维护一个最大值和次大值，然后就可以轻松（mlog²n）得出答案了

我才不会说我边权转化成点权的时候没按dfn序结果调了一整天也没发现呢，哼

代码

//by 减维
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define ls l,mid,v<<1
#define rs mid+1,r,v<<1|1
#define getm mid=(l+r)>>1
using namespace std;

struct us{
    int x,y;
    ll v;
}edg[];

struct edge{
    int to,ne;
    ll v;
}e[];

int n,m,num,ecnt,fa[],dep[],siz[],son[],val[];
int f[],dfn[],out[],head[],top[];
long long ans1,ans2,ans,ma[],ma2[];
bool pd[];
ll inf=1ll<<;

bool cmp(const us&x,const us&y){return x.v<y.v;}
bool cm2(int x,int y){return x>y;}

int find(int x)
{
    if(x==fa[x])return x;
    fa[x]=find(fa[x]);
    return fa[x];
}

void add(int x,int y,int z)
{
    e[++ecnt].to=y;
    e[ecnt].ne=head[x];
    e[ecnt].v=z;
    head[x]=ecnt;
}

void df1(int x)
{
    dep[x]=dep[f[x]]+;
    siz[x]=;
    for(int i=head[x];i;i=e[i].ne)
    {
        int dd=e[i].to;
        if(dd==f[x])continue;
        f[dd]=x;
        df1(dd);
        siz[x]+=siz[dd];
        if(!son[x]||siz[son[x]]<siz[dd])
            son[x]=dd;
    }
}

void dfs(int x,int tp)
{
    top[x]=tp;
    dfn[x]=++num;
    if(son[x])dfs(son[x],tp);
    for(int i=head[x];i;i=e[i].ne)
    {
        int dd=e[i].to;
        if(dd==f[x])continue;
        if(dd==son[x]){
            val[dfn[dd]]=e[i].v;
            continue;
        }
        dfs(dd,dd);
        val[dfn[dd]]=e[i].v;
    }
    out[x]=num;
}

void upda(int v)
{
    int x[];
    x[]=ma[v<<],x[]=ma[v<<|],x[]=ma2[v<<],x[]=ma2[v<<|];
    sort(x+,x+,cm2);
    ma[v]=x[];
    ma2[v]=x[];
}

void print(int l,int r,int v)
{
    if(l==r){
        printf("%d %d\n",ma[v],ma2[v]);
        return ;
    }
    int mid;getm;
    print(ls);
    print(rs);
}

void build(int l,int r,int v)
{
    if(l==r){
        ma[v]=val[l];
        ma2[v]=-inf;
        return ;
    }
    int mid;getm;
    build(ls);
    build(rs);
    upda(v);
}

ll ask(int l,int r,int v,int x,int y,int z)
{
    if(r<x||y<l)return -inf;
    if(x<=l&&r<=y){
        if(ma[v]!=z)return ma[v];
        return ma2[v];
    }
    int mid;getm;
    return max(ask(ls,x,y,z),ask(rs,x,y,z));
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=;i<=m;++i)
        scanf("%d%d%lld",&edg[i].x,&edg[i].y,&edg[i].v);
    sort(edg+,edg+m+,cmp);
    for(int i=;i<=n;++i)fa[i]=i;
    int cntt=;
    for(int i=;i<=m;++i)
    {
        int x=edg[i].x,y=edg[i].y;
        int fx=find(x),fy=find(y);
        if(fx!=fy){
            cntt++;
            pd[i]=;
            fa[fx]=fa[fy];
            ans1+=edg[i].v;
            add(x,y,edg[i].v);
            add(y,x,edg[i].v);
        }
        if(cntt==n-)break;
    }
    df1();
    dfs(,);
    build(,num,);
    ans2=inf;
    for(int i=;i<=m;++i)
        if(!pd[i]){
            int x=edg[i].x,y=edg[i].y;
            ll tmp=-inf;
            while(top[x]!=top[y])
            {
                if(dep[top[x]]>dep[top[y]]){
                    tmp=max(tmp,ask(,num,,dfn[top[x]],dfn[x],edg[i].v));
                    x=f[top[x]];
                }else {
                    tmp=max(tmp,ask(,num,,dfn[top[y]],dfn[y],edg[i].v));
                    y=f[top[y]];
                }
            }
            int lca=dep[x]<dep[y]?x:y,deper=dep[x]>dep[y]?x:y;
            if(x!=y)tmp=max(tmp,ask(,num,,dfn[son[lca]],dfn[deper],edg[i].v));
            ans2=min(ans2,ans1-tmp+edg[i].v);
        }
    printf("%lld",ans2);
}

还有一种类型题，本质上还是求次小生成树

【题目背景】

HJZ 买了一套新房子，他正在为新房子的装修发愁。

【题目描述】

土豪 HJZ 的新房子需要铺设水管网。 水管网一共有 n 个点，其中 1 号点是进水口，其余 n − 1 个点是出水口。

房子预留 了 m 根水管的空间，每根水管可以连接两个点，但要花费一定的代价。

现在 HJZ 想知道让所有出水口都直接或间接与进水口联通的最小代价。

由于装修 过程中可能会出现一些玄学事件，他还想知道代价最小的连接方案是否唯一。保证存在 一种连接方案。

【输入格式】

从文件 pipe.in 中读入数据。

第一行一个正整数 T 表示测试数据组数。

对于每一组测试数据：

• 第一行两个整数 n, m 分别表示水管网的点数和预留的管道数。

• 接下来 m 行，每行三个正整数 a, b, c 表示一条连接 a, b 的双向管道需要 c 的 代价。

【输出格式】 输出到文件 pipe.out 中。 对于每一组测试数据，分别输出两行。

第一行一个整数表示最小代价。 第二行一个字符串 Yes 或 No 表示连接方案是否唯一。

这道题当时考试的时候一时脑抽。。。就写出来了一个二分。。。留在这里当做纪念吧。。。

//by 减维
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<map>
#include<bitset>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;

struct lin{
    int fr,to,v;
}ed[];

struct edge{
    int to,ne,v;
}e[];

struct node{
    int v,pos;
}a[];

ll ans;
int t,n,m,num,tot,ecnt,head[],f[],fa[],lx[],rx[],son[],siz[],top[],dfn[],dep[];
bool fla,pd[];

bool cmp(const lin&x,const lin&y){return x.v<y.v;}
bool cm2(const node&x,const node&y){
    if(x.v==y.v)return x.pos<y.pos;
    return x.v<y.v;
}

void init()
{
    ecnt=num=tot=;
    ans=;
    fla=;
    memset(f,,sizeof(f));
    memset(pd,,sizeof(pd));
    memset(lx,,sizeof(lx));
    memset(rx,,sizeof(rx));
    memset(dep,,sizeof(dep));
    memset(son,,sizeof(son));
    memset(siz,,sizeof(siz));
    memset(dfn,,sizeof(dfn));
    memset(top,,sizeof(top));
    memset(head,,sizeof(head));
}

void add(int x,int y,int z)
{
    e[++ecnt].to=y;
    e[ecnt].ne=head[x];
    e[ecnt].v=z;
    head[x]=ecnt;
}

int find(int x)
{
    if(x==fa[x])return x;
    fa[x]=find(fa[x]);
    return fa[x];
}

void df1(int x)
{
    siz[x]=;
    dep[x]=dep[f[x]]+;
    for(int i=head[x];i;i=e[i].ne)
    {
        int dd=e[i].to;
        if(dd==f[x])continue ;
        f[dd]=x;
        df1(dd);
        siz[x]+=siz[dd];
        if(!son[x]||siz[son[x]]<siz[dd])
            son[x]=dd;
    }
}

void dfs(int x,int tp)
{
    top[x]=tp;
    dfn[x]=++num;
    if(son[x])dfs(son[x],tp);
    for(int i=head[x];i;i=e[i].ne)
    {
        int dd=e[i].to;
        if(dd==f[x]||dd==son[x])continue;
        dfs(dd,dd);
    }
}

void df2(int x,int v)
{
    a[++tot].v=v;
    a[tot].pos=dfn[x];
    for(int i=head[x];i;i=e[i].ne)
    {
        int dd=e[i].to;
        if(dd==f[x])continue;
        df2(dd,e[i].v);
    }
}

bool check(int x,int y,int v)
{
    int l=lx[v],r=rx[v];
    int mid;
    while(l<=r){
        mid=(l+r)>>;
        if(a[mid].pos<=y&&a[mid].pos>=x)return ;
        else if(a[mid].pos>y)r=mid-;
        else l=mid+;
    }
    return ;
}

int main()
{
    freopen("pipe.in","r",stdin);
    freopen("pipe.out","w",stdout);
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        init();
        for(int i=;i<=m;++i)scanf("%d%d%d",&ed[i].fr,&ed[i].to,&ed[i].v);
        sort(ed+,ed+m+,cmp);
        for(int i=;i<=n;++i)fa[i]=i;
        int cnt=;
        for(int i=,x,y,fx,fy;i<=m;++i)
        {
            x=ed[i].fr,y=ed[i].to;
            fx=find(x),fy=find(y);
            if(fx!=fy){
                fa[fx]=fy;
                cnt++;
                ans+=(ll)ed[i].v;
                add(x,y,ed[i].v);
                add(y,x,ed[i].v);
                pd[i]=;
            }
            if(cnt==n-)break;
        }
        printf("%lld\n",ans);
        df1();
        dfs(,);
        df2(,);
        sort(a+,a+tot+,cm2);
        lx[a[].v]=;
        for(int i=;i<=tot;++i)
            if(a[i].v!=a[i-].v)lx[a[i].v]=i,rx[a[i-].v]=i-;
        rx[a[tot].v]=tot;
        for(int i=,x,y,lca,v,deper;i<=m;++i)
            if(!pd[i])
            {
                x=ed[i].fr,y=ed[i].to,v=ed[i].v;
                while(top[x]!=top[y]){
                    if(dep[top[x]]<dep[top[y]])swap(x,y);
                    if(check(dfn[top[x]],dfn[x],v)){
                        fla=;
                        break;
                    }
                    x=f[top[x]];
                }
                if(x!=y){
                    lca=dep[x]<dep[y]?x:y;
                    deper=lca==x?y:x;
                    if(check(dfn[son[lca]],dfn[deper],v))fla=;
                }
                if(fla)break;
            }
        if(fla)printf("No\n");
        else printf("Yes\n");
    }
    return ;
}