【题目】B. Invariance of Tree

【题意】给定n个数的置换,要求使n个点连成1棵树,满足u,v有边当且仅当a[u],a[v]有边,求一种方案或无解。n<=10^5。

【算法】数学 置换

【题解】置换可以分解成若干循环,那么两个点的连边本质上是两个循环之间的连边。

因为要求无环(树),易知所有循环长度必须为偶数(这里不包括最后的情况1)。

那么循环之间通过连边形成一棵树后,最后的问题是必须至少存在一个循环内部相互连边。(不可能通过循环之间的连边使得循环内部连边,否则循环之间的连边就会构成环)

即,至少存在一个循环的长度为1或2才能实现,其它所有循环都向这个中心循环连边就可以满足要求。

那么,有以下结论:

1.存在长度为1的循环,其它循环向其连边,得解。

2.存在长度为2的循环,且不存在>1的奇数长度的循环,其它循环向其连边(交替),得解。

3.否则,无解。

例如,(4,2,1,3)=>(1,2) (3,2) (4,2)  (6,5,4,3,1,2)=>(1,3) (6,4) (2,3) (5, 4)

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=;
int n,a[maxn],b[maxn];
bool vis[maxn];
int main(){
scanf("%d",&n);
for(int i=;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
int x=,y;
for(int i=;i<=n;i++)if(!vis[i]){
int j=i,len=,h=;
while(!vis[j]){
vis[j]=;
len++;
b[j]=h;
h=-h;
j=a[j];
}
if(len==)x=,y=i;else
if(len==&&x!=-&&x!=)x=,y=i;else
if(len%==&&x!=)x=-;
}
if(x<=){printf("NO");return ;}
if(x==){
printf("YES\n");
for(int i=;i<=n;i++)if(i!=y)printf("%d %d\n",i,y);
}
else{
printf("YES\n%d %d\n",y,a[y]);
for(int i=;i<=n;i++)if(i!=y&&i!=a[y])printf("%d %d\n",i,b[i]?y:a[y]);
}
return ;
}

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