扩展中国剩余定理 exCRT 学习笔记

前言

由于 $\{\mathrm{CRT}\}\subseteq\{\mathrm{exCRT}\}$，而且 CRT 又太抽象了，所以直接学 exCRT 了。

摘自 huyufeifei 博客

这么抽象的东西我怎么可能会写

前置技能

gcd/lcm
exgcd
快速乘

参考资料

用途

用于求一个关于 $x$ 的同余方程组

\[\left\{
\begin{matrix}
x\equiv a_1\pmod{b_1}\\\
x\equiv a_2\pmod{b_2}\\\
\cdots\\\
x\equiv a_n\pmod{b_n}
\end{matrix}\right.
\]

的解。

解法推导

考虑到如果 $x$ 对原方程组成立，那么 $x$ 对其中任意几个方程也都成立。那么如果要满足 $x$ 对前 $i$ 个方程都成立，一个必要条件是对前 $i-1$ 个方程都成立。

采用一种类似“增量法”的思路来合并每个式子。

假定前 $i-1$ 个式子已经合并完了，得到 $x\equiv a_{i-1}\pmod{b_{i-1}}$。此时合并

\[\left\{
\begin{aligned}
&x\equiv a_{i-1}&\pmod{b_{i-1}}\\\
&x\equiv a_i&\pmod{b_i}
\end{aligned}\right.
\]

它的本质是存在 $k_1,k_2$，满足（上下颠倒了一下，方便下面推导）

\[\left\{
\begin{aligned}
&x+k_1b_i=a_i\\\
&x+k_2b_{i-1}=a_{i-1}
\end{aligned}\right.
\]

两式相减，得到

\[k_1b_i-k_2b_{i-1}=a_i-a_{i-1}
\]

此时，仅有 $k_1,k_2$ 是变量，剩下的都已知。但是我们用 exgcd 解方程时，要求等式右边是 $\gcd(b_i,b_{i-1})$。此时我们列出一个新方程

\[k_1'b_i+k_2'b_{i-1}=\gcd(b_i,b_{i-1})
\]

解出 $k_1'$ 的一个特解 $k_0$。

那么为了满足新方程和原方程都成立，那么

\[\frac {k_1}{k_1'}=\frac{k_2}{k_2'}=\frac{a_i-a_{i-1}}{\gcd(b_i,b_{i-1})}
\]

因此 $k_1$ 有特解

\[k_{1_0}=k_0\times \frac{a_i-a_{i-1}}{\gcd(b_i,b_{i-1})}
\]

则 $k_1$ 的通解是

\[k_{1_0}+t\times \frac{b_{i-1}}{\gcd(b_i,b_{i-1})},\ t\in \mathbb Z
\]

不定方程的通解

对于 $ax+by=c$ 这个方程，假定我们已经解出来一组解为

\[\left\{
\begin{matrix}
x=x_0\\\
y=y_0
\end{matrix}
\right.
\]

我们带入后对左侧式子变形，得到 $ax_0+S+by_0-S=c$。

我们要从 $ax_0+S$ 中提一个 $a$ 出来，从 $by_0-S$ 中提一个 $b$ 出来，得到 $a(x_0+\frac Sa)+b(y_0-\frac Sb)=c$。

此时最小的满足 $x_0+\frac Sa,\ y_0-\frac Sb$ 都是整数的 $S$ 就是 $a,b$ 的最小公倍数了。

那么每个相邻的 $x$ 之间相差 $\frac Sa=\frac{\operatorname{lcm}(a,b)}a=\frac b{\gcd(a,b)}$，即 $x$ 的通解为 $x_0+t\times \frac b{\gcd(a,b)},\ t\in \mathbb Z$。

后面的式子仅与 $a,b$ 有关。

又因为

\[x+k_1b_i=a_i
\]

我们带入 $k_1$ 的通解，得

\[x+\left(k_{1_0}+t\times \frac{b_{i-1}}{\gcd(b_i,b_{i-1})}\right)\times b_i=a_i,\ t\in \mathbb Z
\]

化简

\[x+b_ik_{1_0}+t\times \frac{b_ib_{i-1}}{\gcd(b_i,b_{i-1})}=a_i,\ t\in \mathbb Z\\\
t\times\operatorname{lcm}(b_i,b_{i-1})=a_i-x-b_ik_{1_0},\ t\in \mathbb Z
\]

由于 $t\in \mathbb Z$，所以

\[a_i-x-b_ik_{1_0}|\operatorname{lcm}(b_i,b_{i-1})\\\
a_i-x-b_ik_{1_0}\equiv 0\pmod{\operatorname{lcm}(b_i,b_{i-1})}\\\
x\equiv a_i-b_ik_{1_0}\pmod{\operatorname{lcm}(b_i,b_{i-1})}
\]

$\equiv$ 符号右边的都是已知量，这时我们就把两个方程结合到一块了。

我们依次合并 $(2)=[(1),(2)],(3)=[(2),(3)],\cdots,(n)=[(n-1),(n)]$，最终得到第 $n$ 个式子

\[x\equiv a_n\pmod{\operatorname{lcm}(b_1,b_2,\cdots,b_m)}
\]

（$a_n$ 是合并 $n-1$ 个式子后的新 $a_n$，上述过程中每一步都会更新 $a_i$）

此时 $a_n$ 就是解了，取模取正数就是最小正整数解。

（上下两部分实质相同）

解法简述

对于

\[\left\{
\begin{aligned}
&x\equiv a_{i-1}&\pmod{b_{i-1}}\\\
&x\equiv a_i&\pmod{b_i}
\end{aligned}\right.
\]

有

\[\left\{
\begin{aligned}
&x+k_1b_i=a_i\\\
&x+k_2b_{i-1}=a_{i-1}
\end{aligned}\right.
\]

解出

\[k_1'b_i-k_2'b_{i-1}=\gcd(b_i,b_{i-1})
\]

的特解 $k_1'$，两边同乘 $\frac{a_i-a_{i-1}}{\gcd(b_i,b_{i-1})}$，得到

\[k_1b_i-k_2b_{i-1}=a_i-a_{i-1}
\]

那么 $k_ 1'$ 也被乘了 $\frac{a_i-a_{i-1}}{\gcd(b_i,b_{i-1})}$，因此 $k_1$ 有特解

\[k_{1_0}=k_1'\times \frac{a_i-a_{i-1}}{\gcd(b_i,b_{i-1})}
\]

而 $k_1$ 的通解是

\[k_1=k_{1_0}+t\times\frac{b_{i-1}}{\gcd(b_i,b_{i-1})}
\]

代回去就是

\[x+k_{1_0}b_i+t\times \operatorname{lcm}(b_i,b_{i-1})=a_i
\]

得到

\[x\equiv a_i-k_{1_0}b_i\pmod{\operatorname{lcm}(b_i,b_{i-1})}
\]

作为第 $i$ 个方程即可。

注意事项

在 $k_1,k_{1_0},a_i$ 的计算中是有可能爆 long long 的，而这三个计算恰好又都是模意义下，所以使用快速乘。

一般情况下不考虑 $\operatorname{lcm}(b_1,b_2,\cdots,b_n)$ 爆 long long 的情况。

代码

#include<cstdio>

#define ll long long

ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)

{

    if(!b)

    {

        x=1,y=0;

        return a;

    }

    ll g=exgcd(b,a%b,y,x);

    y-=a/b*x;

    return g;

}

ll qmul(ll x,ll y,ll p)

{

    ll ans=0,f=1;

    if(x<0)

    {

        x=-x;

        f=-f;

    }

    if(y<0)

    {

        y=-y;

        f=-f;

    }

    while(y)

    {

        if(y&1)

            ans=(ans+x)%p;

        x=(x+x)%p;

        y>>=1;

    }

    return ans*f;

}

ll a[100100],b[100100];

int main()

{

    int n;

    ll x,y;

    scanf("%d",&n);

    for(int i=1;i<=n;++i)

        scanf("%lld%lld",&b[i],&a[i]);

    for(int i=2;i<=n;++i)

    {

        ll g=exgcd(b[i],b[i-1],x,y);

        ll t=b[i-1]/g;//k1 的最小波动 Δ

        x=qmul(x,(a[i]-a[i-1])/g,t);

        x=(x%t+t)%t;

        a[i]-=qmul(x,b[i],b[i]/g*b[i-1]);

        b[i]=b[i]/g*b[i-1];

        a[i]=(a[i]%b[i]+b[i])%b[i];

    }

    printf("%lld\n",(a[n]%b[n]+b[n])%b[n]);

    return 0;

}