hermite 相关算法整理

设f(x)f(x)在节点a≤x0,x1,⋯,xn≤ba≤x0,x1,⋯,xn≤b处的函数值为f0,f1,...,fnf0,f1,...,fn，设P(x)为f(x)P(x)为f(x)在区间[a,b][a,b]上的具有一阶导数的插值函数 
（1）若要求P(x)P(x)在[a,b][a,b]上具有一阶导数（一阶光滑度）

 

P(xi)=f(xi)=fiP′(xi)=f′(xi)=f′,i=0,1,...,nP(xi)=f(xi)=fiP′(xi)=f′(xi)=f′,i=0,1,...,n

P(x)P(x)可以是最高次数为2n+1次多项式，两个节点就可以用2×1+1=32×1+1=3次多项式作为插值函数。 
（2）同样，若要求P(x)在[a,b]P(x)在[a,b]上具有m阶导数（m阶光滑度），即P(x)P(x)在节点x0,x1,...,xnx0,x1,...,xn处必须满足：

 

P(xi)=f(xi)=fiP′(xi)=f′(xi)=f′i⋯P(m)(xi)=f(m)(xi)=f(m)i,i=0,1,...,nP(xi)=f(xi)=fiP′(xi)=f′(xi)=fi′⋯P(m)(xi)=f(m)(xi)=fi(m),i=0,1,...,n

定义：称满足（1）或（2）式的插值问题为Hermite插值，称满足（1）或（2）式的插值多项式P(x)P(x)为Hermite插值多项式,记为Hk(x)Hk(x),k为多项式次数。

三次Hermite插值

 
 
 
 
 
 
 

三次Hermite插值余项

 

R3(x)=f(4)(ξ)4!(x−x0)2(x−x1)2,x0≤ξ≤x1R3(x)=f(4)(ξ)4!(x−x0)2(x−x1)2,x0≤ξ≤x1

当f(4)(x)在[x0,x1]f(4)(x)在[x0,x1]上存在时，上述公式成立。

例题