BZOJ 3028: 食物

\(\color{#0066ff}{ 题目描述 }\)

明明这次又要出去旅游了，和上次不同的是，他这次要去宇宙探险！我们暂且不讨论他有多么NC，他又幻想了他应

该带一些什么东西。理所当然的，你当然要帮他计算携带N件物品的方案数。他这次又准备带一些受欢迎的食物，

如：蜜桃多啦，鸡块啦，承德汉堡等等当然，他又有一些稀奇古怪的限制：每种食物的限制如下：

承德汉堡：偶数个

可乐：0个或1个

鸡腿：0个，1个或2个

蜜桃多：奇数个

鸡块：4的倍数个

包子：0个，1个，2个或3个

土豆片炒肉：不超过一个。

面包：3的倍数个

注意，这里我们懒得考虑明明对于带的食物该怎么搭配着吃，也认为每种食物都是以‘个’为单位（反正是幻想嘛

），只要总数加起来是N就算一种方案。因此，对于给出的N,你需要计算出方案数，并对10007取模。

\(\color{#0066ff}{输入格式}\)

输入一个数字N，1<=n<=\(10^{500}\)

\(\color{#0066ff}{输出格式}\)

如题

\(\color{#0066ff}{输入样例}\)

1

5

\(\color{#0066ff}{输出样例}\)

1

35

\(\color{#0066ff}{数据范围与提示}\)

none

\(\color{#0066ff}{ 题解 }\)

生成函数

\(ans = (x^0+x^2+x^4+x^6...)*(x^0+x^1)*(x^0+x^1+x^2)*(x^1+x^3+x^5...)*(x^0+x^4+x^8...)*(x^0+x^1+x^2+x^3)*(x^0+x^1)*(x^0+x^3+x^6...)\)的第n项系数

因为有\(x^0+x^1+x^2+x^3+...=\frac{1}{1-x}\)

所以原式为\(ans = (\frac{1}{1-x^2})*(1+x)*(1+x+x^2)*(\frac{x}{1-x^2})*(\frac{1}{1-x^4})*(1+x+x^2+x^3)*(1+x)*(\frac{1}{1-x^3})\)

还有一些项可以等比数列求和

\(ans = \frac{1}{1-x^2}*\frac{1-x^2}{1-x}*\frac{1-x^3}{1-x}*\frac{x}{1-x^2}*\frac{1}{1-x^4}*\frac{1-x^4}{1-x}*\frac{1-x^2}{1-x}*\frac{1}{1-x^3}\)

大力约分

\(ans = \frac{x}{(1-x^4)}\)的n次方项系数

这个怎么搞呢？

因为\(\begin{aligned}\frac{1}{(1-x)^{n + 1}}=\sum_{i\ge 0}C_{n+i}^i x^i\end{aligned}\)

因此可以化为\(ans=x*\begin{aligned}\sum_{i\ge 0}C_{3+i}^i x^i\end{aligned}\)

把x弄进去\(ans=\begin{aligned}\sum_{i\ge 0}C_{3+i}^i x^{i +1}\end{aligned}\)

改变一下i的枚举\(ans=\begin{aligned}\sum_{i\ge 1}C_{2+i}^{i - 1} x^{i}\end{aligned}\)

则$ans=\begin{aligned}\sum_{i\ge 1}C_{2+i}^{i - 1} x^{{i}\end{aligned}的第n项系数=C_{2+n}}{n - 1} =C_{2+n}^{3} $

然后就没有然后了，暴力组合数展开。。。qwq

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
const int mod = 10007;
LL in() {
    char ch; LL x = 0, f = 1;
    while(!isdigit(ch = getchar()))(ch == '-') && (f = -f);
    for(x = ch ^ 48; isdigit(ch = getchar()); x = ((x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48)) % mod);
    return x * f;
}
int main() {
    LL n = in();
    printf("%lld\n", (n * (n + 1) * (n + 2) / 6) % mod);
    return 0;
}