51nod 1245 Binomial Coefficients Revenge

Description

C(M,N) = M! / N! / (M - N)! (组合数)。给出M和质数p，求C(M,0), C(M,1)......C(M,M)这M + 1个数中，有多少数不是p的倍数，有多少是p的倍数但不是p^{2的倍数，有多少是p}2的倍数但不是p^3的倍数......。

例如：M = 10, P = 2。C(10,0) -> C(10,10)

分别为：1, 10, 45, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 10, 1。

P的幂 = 1 2 4 8 16......

1 45 45 1 这4个数只能整除1。

10 210 210 10这4个数能整除2但不能整除4。

252 能整除4但不能整除8。

120 120 这2个数能整除8但不能整除16。

Solution

一个质数出现了 \(k\) 次,那么 \(2^{1,2....,k}\) 都出现过

判断一个质数在 \(n!\) 中出现的次数就是:

\(\sum_{i=1}^{n} \lfloor\frac{n}{p^i}\rfloor\)

那么 \(C_{n}^{m}\) 的贡献就是 \(\sum \lfloor\frac{n}{p^i}\rfloor-\lfloor\frac{m}{p^i}\rfloor-\lfloor\frac{n-m}{p^i}\rfloor\)

\(\lfloor\frac{n}{p^i}\rfloor-\lfloor\frac{m}{p^i}\rfloor-\lfloor\frac{n-m}{p^i}\rfloor\) 的值不是 \(1\) 就是 \(0\)

是 \(1\) 的条件是 \(n \mod P<m \mod P\)

那么把 \(n\) 看成 \(P\) 进制数,从高位到低位看的话,也就是统计满足 \(n\) 的某个后缀大于 \(m\) 的某个后缀的个数

从低位到高位做,设 \(f[i][j][0/1]\) 表示前 \(i\) 位,满足条件的后缀个数是 \(j\),相对于 \(n\) 是危险态还是安全态的方案数(\(m\) 要小于 \(n\))

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
template<class T>void gi(T &x){
	int f;char c;
	for(f=1,c=getchar();c<'0'||c>'9';c=getchar())if(c=='-')f=-1;
	for(x=0;c<='9'&&c>='0';c=getchar())x=x*10+(c&15);x*=f;
}
typedef long long ll;
const int N=105;
ll n,P,a[N],f[N][N][2];int m=0;
inline void work(){
	m=0;
	memset(f,0,sizeof(f));
	cin>>n>>P;
	ll x=n;
	while(x)a[++m]=x%P,x/=P;
	f[1][1][1]=P-1-a[1];f[1][0][0]=a[1]+1;
	for(int i=1;i<m;i++){
		for(int j=0;j<=i;j++){
			f[i+1][j+1][1]+=f[i][j][1]*(P-a[i+1])+f[i][j][0]*(P-a[i+1]-1);
			f[i+1][j][0]+=f[i][j][0]*(a[i+1]+1)+f[i][j][1]*a[i+1];
		}
	}
	for(int i=0;i<N && f[m][i][0];i++)
		printf("%lld ",f[m][i][0]);
	puts("");
}
int main(){
  freopen("pp.in","r",stdin);
  freopen("pp.out","w",stdout);
  int T;cin>>T;
  while(T--)work();
  return 0;
}