2822: [AHOI2012]树屋阶梯

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Description

暑假期间，小龙报名了一个模拟野外生存作战训练班来锻炼体魄，训练的第一个晚上，教官就给他们出了个难题。由于地上露营湿气重，必须选择在高处的树屋露营。小龙分配的树屋建立在一颗高度为N+1尺（N为正整数）的大树上，正当他发愁怎么爬上去的时候，发现旁边堆满了一些空心四方钢材（如图1.1），经过观察和测量，这些钢材截面的宽和高大小不一，但都是1尺的整数倍，教官命令队员们每人选取N个空心钢材来搭建一个总高度为N尺的阶梯来进入树屋，该阶梯每一步台阶的高度为1尺，宽度也为1尺。如果这些钢材有各种尺寸，且每种尺寸数量充足，那么小龙可以有多少种搭建方法？（注：为了避免夜里踏空，钢材空心的一面绝对不可以向上。）

以树屋高度为4尺、阶梯高度N=3尺为例，小龙一共有如图1.2所示的5种

搭 建方法：

Input

一个正整数 N(1≤N≤500)，表示阶梯的高度

Output

一个正整数，表示搭建方法的个数。（注：搭建方法个数可能很大。）

Sample Input

3

Sample Output

5

HINT

1  ≤N≤500

题意完全没看懂，，，果然是我太弱了（又弱又懒→_→）

就以样例3层为例

可以将阶梯分为两部分，前两层和最后一层，而前两层的方案数是当n为2时，即f[2]

于是变成了f[0]*f[2]+f[2]*f[0]

还剩下一个大正方体填充（也就是图示的第三种）

这时，实际上将阶梯隔成了两块，最高层和最底层，他们的方案数都是f[1]，于是为f[1]*f[1]

综上，f[3]=f[2]*f[0]+f[1]*f[1]+f[0]*f[2]

好像Catalan数列啊。。。

懒得分解质因数，直接上单精乘、单精除（果然又弱又懒

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #include<cstring>
 #include<iomanip>
 using namespace std;

 const int MAXN=;
 const int DLEN=;
 const int WIDE=;
 class BigNum
 {
 public:
     int NUM[MAXN];
     int L;
     bool flag;
     BigNum(){memset(NUM,,sizeof(NUM));L=;flag=;}
     BigNum(const BigNum &T){memcpy(NUM,T.NUM,sizeof(NUM));L=T.L;flag=T.flag;}
     BigNum(int n){memset(NUM,,sizeof(NUM));NUM[]=n;L=;while(NUM[L-]>=WIDE){NUM[L]+=NUM[L-]/WIDE;NUM[L-]%=WIDE;L++;}flag=;}
 };

 void Output(const BigNum T)
 {
     if(T.flag==) cout<<'-';
     cout<<T.NUM[T.L-];
     for(int i=T.L-;i>=;i--)
     {
         cout.width(DLEN);
         cout.fill('');
         cout<<T.NUM[i];
     }
 }

 BigNum Mult(const BigNum A,int B)
 {
     BigNum C(A);
     int i,tmp,k=;
     for(i=;i<C.L||k;i++)
     {
         tmp=C.NUM[i]*B+k;
         k=tmp/WIDE;
         C.NUM[i]=tmp%WIDE;
     }
     C.L=i;
     return C;
 }

 BigNum Div(const BigNum A,int B)
 {
     BigNum C(A);
     int k=;
     for(int i=C.L-;i>=;i--)
     {
         k=k*WIDE+C.NUM[i];
         C.NUM[i]=k/B;
         k%=B;
     }
     while(C.NUM[C.L-]==) C.L--;
     return C;
 }

 int n;

 int main()
 {
     scanf("%d",&n);
     BigNum A();
     for(int i=;i<=n;i++)
         A=Div(Mult(A,*i-),i+);
     Output(A);
     return ;
 }