vijos1194 Domino

vijos上的题解：

1.因为每个格子不是被覆盖就是没被覆盖，状态只有0 1两种，m<=5，所以可以将每一列的状态压缩，看作一个二进制数.
2.矩阵G表示从I状态到J状态的路径条数，自乘N次为长度为N的路径条数。
3.矩阵乘法可以用快速幂优化，时间复杂度为O(logN*(2^M)^3)可以接受
4.用I表示前一个状态，J表示这个状态，则I可以到达J的条件是：（K = 2^M - 1 ）
I OR J = K 且 I AND J = AG[W]
I状态未能填满的格子均由横向1*2的骨牌填充，此时J状态相应的位置也填充了骨牌，因此要满足I OR J = K，即I和J状态此时互补。
又在J状态下可以继续填充竖向2*1的骨牌，这些骨牌的位置可由I AND J得到，所以I AND J必须满足 I AND J = AG[W]
AG[W]为在宽度为M是竖向填充2*1的骨牌的所有方案。
ag:Array[0..7]of longint = (0,3,6,12,15,24,27,30);
把里面的数字转换成2进制就知道这个数组的干吗用的了。
5.再次感谢matrix67大牛，膜拜ing...

还有需要弄清的问题是把每个数字转换为2进制后，1表示此位置被覆盖，0表示未被覆盖。但为什么需要 i  or  j=1<<m -1 并且 i and j=这些奇怪的数字呢？

其实我们可以这样考虑，我们现在所在的这一行，假设是n行，要过度到n+1行，所以这一行上面的0必须被填上，这样n+1行的同一个位置必定有1，

这是横着铺了一个骨牌的结果，所以i or j=1<<m-1

那为什么要有i and j=那些呢？

我们思考，当把第n行铺满之后，在n+1行上竖着铺放骨牌还可以得到不同的方案数，而这时能铺的只有n行的1所在的位置，而且必须是若干个两个连着的1。

而 i and j 的1所在位置就是新铺的竖着的骨牌，它必须等于某些特定的值，而不能等于其它的值 比如 01010 这是显然不可能，他是怎么铺上的呢？

事实上，我们把AG数组的所有转化为二进制即：

00000,00011,00110,01100,01111,11000,11011,11110

这为我们提供了所有可行的i and j 的值

Q.E.D

代码：

 const ag:array[..]of longint=(,,,,,,,);
 type matrix=array[..,..] of longint;
 var a,b:matrix;
     i,j,k,m,n,p,ans:longint;
 function mo(x:longint):longint;
  begin
    mo:=x mod p;
  end;
 procedure init;
  begin
    readln(n,m,p);
    fillchar(a,sizeof(a),);
    fillchar(b,sizeof(b),);
    m:=(<<m)-;
    for i:= to m do
     for j:= to m do
       if i or j=m then
        for k:= to  do
         if i and j=ag[k] then a[i,j]:=;
    for i:= to m do b[i,i]:=;
  end;
 procedure mul(var x,y,z:matrix);
  var t:matrix;
      i,j,k:longint;
  begin
    fillchar(t,sizeof(t),);
    for i:= to m do
     for j:= to m do
      for k:= to m do
       t[i,j]:=mo(t[i,j]+x[i,k]*y[k,j]);
    z:=t;
  end;
 procedure ksm(cs:longint);
  begin
    while cs<> do
     begin
       if cs and = then mul(a,b,b);
       cs:=cs>>;
       mul(a,a,a);
     end;
  end;
 procedure main;
  begin
    ksm(n);
    writeln(b[m,m]);
  end;
 begin
   init;
   main;
 end.           

还有一个小问题，这里A数组自乘了n次，而且最后直接输出了b[m,m]，这是为什么呢？

我们可以假想初始状态为0行铺满了格子，每乘一次都得到了下一行的结果，所以n此后得到了第n行的结果，A[n,n]表示的就是从第0行铺满到第n行铺满的方案数。