Google面试题：计算从1到n的正数中1出现的次数

题目：

　　输入一个整数n，求从1到n这n个整数的十进制表示中1出现的次数。例如输入12，从1到12这些整数中包含1 的数字有1，10，11和12，1一共出现了5次。

　　找工作，准备看写题目，题目说是Google面试题，遂很认真地自己做了下。

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找规律：

　　其实可以从中找出数列的规律。求从1到n数字中的1共有多少个，会想到按照数字的位数来观察观察，比如1位数字里（从1到9）共有1个，记W[1]=1；2位数字里（01到99）共有W[2]个，3位数字（001到999）共有W[3]个，定义如下数组：

enum{N = };
int W[N];        //数组含义：下标 i 代表整数位数是 i 的共有包含多少个 1，如 i 是 2 代表[1, 99]区间全部整数共包含多少个 1

要是把这个数组的值全部求到了，那么就好办了。下面找这个数组的规律。

　　先看看W[3]与W[2]的关系，如下图：

　　

上图左边是一个三位数的第一位的所有情况，即从0到9，右边是后两位的所有情况，从00到99，这就是从000到999所有数字的情况了。注意：对于一个三位数，左边是10种情况，即从0到9，右边的每个从00到99包含的1的个数不就是W[2]吗？再来看三位数字当左边一位是1的情况，这时，数字为从100到199，这100一个数字每个最左边都是一个1。综上：W[3] = 10 * W[2] + 100

　　同理可以分析W[4] = 10 * W[3] + 1000，这后面加的100、1000其实就是10的（位数-1）次方。我们猜测：W[n+1] = 10 * W[n] + 10^n（n>=0，W[0]=0）。可以当做数列证明的。

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运算：

　　找到规律就好办了，一下子就可以把W数组求出来了。但是对于一个数字呢？比如768，如下：

一：先算从000到699的个数，不就 7 * W[2] + 100 嘛，道理同上。

二：再算从700到768，因为最前面的 7 已经不贡献 1 了，所以这个相当于00到68了，其中00到59是 6 * W[1] + 10。

三：剩下60到68，前面6也不贡献了，相当于0到8，就一个。所以加起来就完了。

　　注意：万一是168，第一步就不对了，1 * W[2] 后就不能加 100 了，这种情况要注意处理好，下面直接上代码，注释很详细啦：

 #include <iostream>
 #include <sstream>
 #include <string>
 #include <cmath>
 #include <cstdlib>
 #include <fstream>
 #include <ctime>

 using std::cout;
 using std::endl;
 using std::cin;
 using std::string;

 //最原始的方法，即从1到n，看每个数字中的“1”的个数，然后加到一起
 int getCntSimple(int n)
 {
     int cnt = ;
     for (int i = ; i <= n; i++)
     {
         //数字到字符串的转换
         std::stringstream ss;
         ss << i;
         string temp = ss.str();

         int thisCnt = ;
         for (int j = ; j < temp.size(); j++)
         {
             if ('' == temp[j])
                 thisCnt++;
         }

         cnt += thisCnt;
     }
     return cnt;
 }

 //较好的方法
 enum{N = };
 int W[N];        //数组含义：下标 i 代表整数位数是 i 的共有包含多少个 1，如 i 是 2 代表[1, 99]区间全部整数共包含多少个 1

 //初始化W数组
 void initWArr(void)
 {
     W[] = ;
     for (int i = ; i < N - ; i++)
     {
         W[i + ] = W[i] *  + std::pow(, i);
     }
 }

 int getCntBetter(int n)
 {
     //数字转成字符串
     std::stringstream ss;
     ss << n;
     string temp = ss.str();

     int len = temp.size(), res = ;

     //其实这里的每次循环处理的都是最大的一位，以后的都相当于零头子
     for (int i = ; i < len; i++)
     {
         int num = (temp[i] - '');        //由字符转为数字

         if (num > )        //注意当前这一位是不是比1大
         {
             res += num * W[len - i - ] + std::pow(, len - i - );        //比1大就直接加上10^(len - i - 1)个，完整的那么多次方个，完全贡献
         }
         else if ( == num)        //如果这个数是0
         {
             continue;        //直接进行下一次循环
         }
         else    //这数字是1，下个循环要去掉这个位，得先把这个1的贡献算上
         {
             if (i < len - )            //不是最后一位的1
             {
                 //获取这个1后面的数字
                 string strVal = temp.substr(i + );
                 std::stringstream ss(strVal);
                 int val;
                 ss >> val;

                 res += W[len - i - ] + (val + );
             }
             else     //最后一位了，且是1
             {
                 res += ;
             }
         }
     }

     return res;
 }

 int main(void)
 {
     initWArr();
     std::ofstream fout("src.txt");

     /*
     for (int i = 0; i < 2000; i++)
     {
         int n =std::rand() % 1000;
         int a = getCntSimple(n);
         int b = getCntBetter(n);
         fout << n << "   :" << a << "  " << b << endl;
         cout << i << ((a == b) ? " 是" : " 否") << endl;
     }*/

     clock_t aTimeStart = std::clock();
     for (int i = ; i < ; i++)
     {
         int a = getCntSimple(i);
     }
     clock_t aTimeEnd = std::clock();
     cout << "runing time a: " << static_cast<double>(aTimeEnd - aTimeStart) / CLOCKS_PER_SEC *  << "ms" << endl;

     clock_t bTimeStart = std::clock();
     for (int i = ; i < ; i++)
     {
         int a = getCntBetter(i);
     }
     clock_t bTimeEnd = std::clock();
     cout << "runing time b: " << static_cast<double>(bTimeEnd - bTimeStart) / CLOCKS_PER_SEC *  << "ms" << endl;

     cin.get();
 }

　　多多注意从第61行开始的判断：

（1）如果这个数字是大于1的，那么就类似于求W数组的那种方式；

（2）这个数字是0，那么直接跳过，没有贡献；

（3）这个数字是1的话，注意，如果这个1已经是最后一位了，那么直接加一个1就好了。但是如果不是的话，假设这是数字是123了，那么想要去掉这个1直接处理后面的零头23时，[1, 99]可以用W[2]获得，但是这个一对后面的24个数字（00到23）都有影响，所以要加上这么多个1。

可以运行试试。