最短路径算法之四——SPFA算法

SPAF算法

求单源最短路的SPFA算法的全称是：Shortest Path Faster Algorithm，该算法是西南交通大学段凡丁于1994年发表的。

它可以在O(kE)的时间复杂度内求出源点到其他所有点的最短路径。

其中k为所有顶点进队的平均次数，可以证明k一般小于等于2，可以处理负边，但无法处理带负环的图（负环和负边不是一个概念）。

SPFA的实现甚至比Dijkstra或者Bellman_Ford还要简单。

SPFA算法过程：
　　我们记源点为S，由源点到达点i的“当前最短路径”为D[i]，开始时将所有D[i]初始化为无穷大，D[S]则初始化为0。算法所要做的，就是在运行过程中，不断尝试减小D[]数组的元素，最终将其中　　每一个元素减小到实际的最短路径。
　　过程中，我们要维护一个队列，开始时将源点置于队首，然后反复进行这样的操作，直到队列为空：
　　(1)从队首取出一个结点u，扫描所有由u结点可以一步到达的结点，具体的扫描过程，随存储方式的不同而不同；
　　(2)一旦发现有这样一个结点，记为v，满足D[v] > D[u] + w(u, v)，则将D[v]的值减小，减小到和D[u] + w(u, v)相等。其中，w(u, v)为图中的边u-v的长度，由于u-v必相邻，所以这个长度一定已知（不然我们得到的也不叫一个完整的图）；这种操作叫做松弛。
　　(3)上一步中，我们认为我们“改进了”结点v的最短路径，结点v的当前路径长度D[v]相比于以前减小了一些，于是，与v相连的一些结点的路径长度可能会相应地减小。注意，是可能，而不是一定。但即使如此，我们仍然要将v加入到队列中等待处理，以保证这些结点的路径值在算法结束时被降至最优。

判断有无负环：
　　如果某个点进入队列的次数超过N次则存在负环（SPFA无法处理带负环的图）
　　对于不存在负权回路的图来说，上述算法是一定会结束的。因为算法在反复优化各个最短路径长度，总有一个时刻会进入“无法再优化”的局面，此时一旦队列读空，算法就结束了。然而，如果图中存　　在一条权值为负的回路，就糟糕了，算法会在其上反复运行（因为d[]加上一个负数肯定变下了，所以在有负环的情况下，会不断有数进入队列），通过“绕圈”来无休止地试图减小某些相关点的最短路　　径值。假如我们不能保证图中没有负权回路，一种“结束条件”是必要的。这种结束条件是什么呢？
　　思考Bellman-Ford算法，它是如何结束的？显然，最朴素的Bellman-Ford算法不管循环过程中发生了什么，一概要循环|V|-1遍才肯结束。凭直觉我们可以感到，SPFA算法“更聪明一些”，就是说我　　们可以猜测，假如在SPFA中，一个点进入队列——或者说一个点被处理——超过了|V|次，那么就可以断定图中存在负权回路了。

SPFA代码实现(以HDU1535为例)：

 #include<stdio.h>
 #include<limits.h>
 #include<iostream>
 #include<string>
 #include<queue>
 #define MAXN 1000000
 using namespace std;
 struct e
 {
     int begin;
     int end;
     int dis;
 } edge1[MAXN+],edge2[MAXN+];
 int dis[MAXN+],first[MAXN+];
 bool vis[MAXN+];
 int T,S,D,N,k,M;
 void SPFA(int begin,struct e edge[])
 {
     for (int i=; i<=N; i++)
     {
         dis[i]=INT_MAX;
         vis[i]=;
     }
     queue <int> Q;
     Q.push(begin);
     dis[begin]=;
     while (!Q.empty())
     {
         begin=Q.front();
         Q.pop();
         vis[begin]=;
         for (int i=first[begin]; edge[i].begin==begin; i++)
             if (dis[edge[i].end]>dis[begin]+edge[i].dis)
             {
                 dis[edge[i].end]=dis[begin]+edge[i].dis;
                 if (!vis[edge[i].end])
                 {
                     Q.push(edge[i].end);
                     vis[edge[i].end]=;
                 }
             }
     }
 }
 void init(struct e edge[])
 {
     memset(first,,sizeof(first));
     first[edge[].begin]=;
     for (int i=; i<=M; i++)
         if (edge[i-].begin!=edge[i].begin) first[edge[i].begin]=i;
 }
 bool cmp(struct e a,struct e b)
 {
     return a.begin<b.begin;
 }
 int main()
 {
     int T;
     cin>>T;
     while (T--)
     {
         scanf("%d %d",&N,&M);
         int x1,x2,x3;
         for (int i=; i<=M; i++)
         {
             scanf("%d %d %d",&x1,&x2,&x3);
             edge1[i].begin=x1,edge1[i].end=x2,edge1[i].dis=x3;
             edge2[i].begin=x2,edge2[i].end=x1,edge2[i].dis=x3;
         }
         sort(edge1+,edge1+M+,cmp);
         sort(edge2+,edge2+M+,cmp);
         init(edge1);
         SPFA(,edge1);
         int cnt=;
         for (int i=; i<=N; i++)
             cnt+=dis[i];
         init(edge2);
         SPFA(,edge2);
         for (int i=; i<=N; i++)
             cnt+=dis[i];
         printf("%d\n",cnt);
     }
     return ;
 }

　　期望的时间复杂度：O(ke)， 其中k为所有顶点进队的平均次数，可以证明k一般小于等于2。