B-tree

2-3 Tree

二叉搜索树的每个节点只带有一个值，这个值将数据区间划分成两部分，值左边的部分（也就是小于这个值的数据）保存到节点的左子树，值右边的部分保存到节点的右子树。因此，每个非叶子节最多能够拥有两个子节点。

如果每个节点保存两个值，那么这两个值可以将数据区间划分成三部分，左边部分的数据保存在左子树，右边部分的数据保存在右子树，介于两个值之间的那部分数据保存在中间子树。也就是说，在一个节点保存两个值的情况下，这个节点有三个子节点。

节点可以存储1个或者2个值的搜索树，就是2-3树了。二叉搜索树的查找效率为O(h)，h为树的高度。在最好的情况下(完全平衡)，有N个节点的二叉搜索树的高度为h=log(N)，但添加删除节点时二叉搜索树容易失去平衡，失去平衡后树的高度就会发生变化，最差情况下，树的高度为N。使用平衡算法来平衡二叉搜索树，又需要花费额外的开销。

2-3树在插入数据过程中，会自动平衡。二叉搜索树的新节点只能作为叶子节点添加，而添加叶子节点提高了增加树高度的概率；二叉搜索树的根节点一旦确定就不会再被修改，直观地想下，如果根节点的值在数据区间的两端，那么最终肯定会导致树的非常不平衡。另一方面，因为二叉搜索树的节点只能保存一个值，同2-3树可以最多保存2个值相比，即使在都完全平衡的情况下，2-3树的高度也要小。

2-3树插入新节点时，如果插入点已经存在2个值，那么它首先将新值和原来的2个值放在一起构成3个值的节点，然后将这三个值的中间值向上提到父节点, 而剩余的两个值变成了父节点的两个子节点（因为分别在中间值的左右两边）。父节点也做相同的处理，依次向上提，直到根节点, 如果根节点已经为2个值的节点，那么就会改变根节点的值。这种“将中间值向上提”的过程，实际就是自动平衡的过程。

2-3树的最差查找效率为lgN，最好查找效率为log3N，约等于0.631lgN。

本节主要参考浅谈算法和数据结构：平衡查找树之2-3树

B-tree

本节主要参考MySQL索引背后的数据结构及算法原理