复旦大学2015--2016学年第一学期（15级）高等代数I期末考试第八大题解答

八、(本题10分)  设 $V$ 为数域 $K$ 上的 $n$ 维线性空间, $\varphi$ 为 $V$ 上的线性变换. 子空间 $C(\varphi,\alpha)=L(\alpha,\varphi(\alpha),\varphi^2(\alpha),\cdots)$ 称为 $\varphi$ 关于 $V$ 中向量 $\alpha$ 的循环子空间. 若非零多项式 $f(x)\in K[x]$ 满足 $f(\varphi)(\alpha)=0$, 则称 $f(x)$ 是 $\varphi$ 在 $\alpha$ 处的零化多项式.

(1) 证明: 对 $V$ 中任一非零向量 $\alpha$, 必存在 $\varphi$ 在向量 $\alpha$ 处的零化多项式.

(2) 设 $V=C(\varphi,\alpha_1)\bigoplus C(\varphi,\alpha_2)\bigoplus\cdots\bigoplus C(\varphi,\alpha_m)$, 其中 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$ 是 $V$ 中的非零向量, $f_i(x)$ 是 $\varphi$ 在 $\alpha_i$ 处的零化多项式. 证明: 若 $f_1(x),f_2(x),\cdots,f_m(x)$ 是 $K$ 上互异的首一不可约多项式, 则 $\varphi$ 的任一不变子空间必为 $\bigoplus\limits_{i\in I}C(\varphi,\alpha_i)$ 的形式, 其中 $I$ 是 $\{1,2,\cdots,m\}$ 的子集 (注: $I$ 为空集时对应于零子空间).

分析  本题是新白皮书第 202 页例 4.47 的推广, 例 4.47 是零化多项式都是一次多项式的情形, 显然它的证明完全不能延拓到本题, 我们必须寻找新的方法. 本题的技巧就是互素多项式的应用 (参考白皮书第 256 页的 5.2.9 节) 以及中国剩余定理 (它的证明也是互素多项式的应用, 也可以直接用互素多项式的讨论替代它). 下面我们给出第二问的两种证明, 虽然它们本质上是一样的, 但考虑问题的出发点还是不同的.

证明  (1) 由于 $\dim V=n$, 故 $\alpha,\varphi(\alpha),\cdots,\varphi^{n-1}(\alpha),\varphi^n(\alpha)$ 必线性相关, 即存在不全为零的数 $c_0,c_1,\cdots,c_{n-1},c_n$, 使得 $$c_0\alpha+c_1\varphi(\alpha)+\cdots+c_{n-1}\varphi^{n-1}(\alpha)+c_n\varphi^n(\alpha)=0.$$ 令 $f(x)=c_0+c_1x+\cdots+c_{n-1}x^{n-1}+c_nx^n$, 则 $f(x)\neq 0$ 且 $f(\varphi)(\alpha)=0$.

(2) 证法一  任取 $V$ 的一个非零 $\varphi$-不变子空间 $U$, 定义 $$I=\{i\in [1,m]\mid \exists\,\beta\in U,\,\,\beta=\beta_1+\cdots+\beta_i+\cdots+\beta_m,\,\,\beta_j\in C(\varphi,\alpha_j),\,\,\beta_i\neq 0\}.$$ 显然, $I\neq\emptyset$ 并且 $U\subseteq \bigoplus\limits_{i\in I}C(\varphi,\alpha_i)$. 下面证明对任一 $i\in I$, $C(\varphi,\alpha_i)\subseteq U$ 成立, 从而结论成立. 不妨取 $\beta\in U$, $\beta=\beta_1+\beta_2+\cdots+\beta_m$, 其中 $\beta_i\in C(\varphi,\alpha_i)$ 且 $\beta_1\neq 0$, 我们只要证明 $C(\varphi,\alpha_1)\subseteq U$ 即可. 设 $\beta_i=g_i(\varphi)(\alpha_i)$, 其中 $g_i(x)\in K[x]\,(1\leq i\leq m)$. 因为 $\beta_1\neq 0$, 故 $f_1(x)\nmid g_1(x)$, 又 $f_1(x)$ 是不可约多项式, 从而只能是 $(f_1(x),g_1(x))=1$, 于是存在 $u(x),v(x)\in K[x]$, 使得 $f_1(x)u(x)+g_1(x)v(x)=1$. 代入 $x=\varphi$ 可得 $$f_1(\varphi)u(\varphi)+g_1(\varphi)v(\varphi)=I_V,$$ 上式两边同时作用 $\alpha_1$ 可得 $$\alpha_1=u(\varphi)f_1(\varphi)(\alpha_1)+v(\varphi)g_1(\varphi)(\alpha_1)=v(\varphi)(\beta_1).$$ 因为 $f_1(x),f_2(x),\cdots,f_m(x)$ 两两互素, 由中国剩余定理可知, 存在 $h(x)\in K[x]$, 使得 $$h(x)\equiv v(x) \pmod{f_1(x)},\,\,\,\,h(x)\equiv 0 \pmod{f_j(x)},\,\,j=2,\cdots,m,$$ 从而 $$h(\varphi)(\beta)=h(\varphi)(\beta_1)+h(\varphi)(\beta_2)+\cdots+h(\varphi)(\beta_m)=v(\varphi)(\beta_1)=\alpha_1\in U.$$ 因为 $C(\varphi,\alpha_1)$ 是由 $\alpha_1$ 生成的 $\varphi$-不变的循环子空间, 故有 $C(\varphi,\alpha_1)\subseteq U$.

证法二  设 $p_i:V\to C(\varphi,\alpha_i)$ 是从 $V$ 到其直和因子 $C(\varphi,\alpha_i)$ 上的投影映射, 任取 $V$ 的一个非零 $\varphi$-不变子空间 $U$, 定义 $U_i=p_i(U)$, 则容易验证 $U_i$ 是 $C(\varphi,\alpha_i)$ 的子空间. 显然我们有 $$U\subseteq U_1+U_2+\cdots+U_m=U_1\oplus U_2\oplus\cdots\oplus U_m.$$ 首先, 我们来证明上述包含关系是相等关系, 为此不失一般性, 我们只要证明 $U_1\subseteq U$ 即可. 任取 $\beta_1\in U_1$, 并设它是 $\beta\in U$ 的投影, 即有 $\beta=\beta_1+\beta_2+\cdots+\beta_m$, 其中 $\beta_i\in U_i$. 因为 $f_1(x)$ 与 $f_2(x)\cdots f_m(x)$ 互素, 故存在 $u(x),v(x)\in K[x]$, 使得 $f_1(x)u(x)+f_2(x)\cdots f_m(x)v(x)=1$. 代入 $x=\varphi$ 可得 $$f_1(\varphi)u(\varphi)+f_2(\varphi)\cdots f_m(\varphi)v(\varphi)=I_V,$$ 上式两边同时作用 $\beta_1$ 可得 $$\beta_1=u(\varphi)f_1(\varphi)(\beta_1)+v(\varphi)f_2(\varphi)\cdots f_m(\varphi)\big(\beta-(\beta_2+\cdots+\beta_m)\big)$$$$=v(\varphi)f_2(\varphi)\cdots f_m(\varphi)(\beta)\in U,$$ 从而 $U_1\subseteq U$ 成立, 因此 $$U=U_1\oplus U_2\oplus\cdots\oplus U_m.$$ 其次, 注意到 $$\varphi(\beta)=\varphi(\beta_1)+\varphi(\beta_2)+\cdots+\varphi(\beta_m),\,\,\,\,\beta\in U,\,\,\beta_i\in U_i\subseteq C(\varphi,\alpha_i),$$ 由于 $C(\varphi,\alpha_i)$ 是 $\varphi$-不变的, 故 $\varphi(\beta_i)\in C(\varphi,\alpha_i)$ 也是 $\varphi(\beta)\in U$ 在 $C(\varphi,\alpha_i)$ 上的投影, 于是 $\varphi(\beta_i)\in U_i$, 这说明 $U_i$ 是 $C(\varphi,\alpha_i)$ 的 $\varphi$-不变子空间. 最后, 为了证明本题结论, 我们只要证明 $C(\varphi,\alpha_i)$ 只有平凡的 $\varphi$-不变子空间即可. 不妨设 $U_1$ 是 $C(\varphi,\alpha_1)$ 的非零 $\varphi$-不变子空间, 任取 $0\neq\beta_1\in U_1$, 并设 $\beta_1=g_1(\varphi)(\alpha_1)$, 其中 $g_1(x)\in K[x]$. 因为 $\beta_1\neq 0$, 故 $f_1(x)\nmid g_1(x)$, 又 $f_1(x)$ 是不可约多项式, 从而只能是 $(f_1(x),g_1(x))=1$, 于是存在 $w(x),t(x)\in K[x]$, 使得 $f_1(x)w(x)+g_1(x)t(x)=1$. 代入 $x=\varphi$ 可得 $$f_1(\varphi)w(\varphi)+g_1(\varphi)t(\varphi)=I_V,$$ 上式两边同时作用 $\alpha_1$ 可得 $$\alpha_1=w(\varphi)f_1(\varphi)(\alpha_1)+t(\varphi)g_1(\varphi)(\alpha_1)=t(\varphi)(\beta_1)\in U_1.$$ 因为 $C(\varphi,\alpha_1)$ 是由 $\alpha_1$ 生成的 $\varphi$-不变的循环子空间, 故 $U_1=C(\varphi,\alpha_1)$ 成立, 结论得证.  $\Box$

注  本题15级只有谢灵尧同学和王昊越同学完全做出.