[CCPC－Wannafly & Comet OJ 夏季欢乐赛(2019)]飞行棋

题目链接：https://www.cometoj.com/contest/59/problem/E?problem_id=2714

求期望并且一堆转移基本上就是期望dp了(叉腰

照常的设dp[i]表示i位置到n位置的期望步数。则我们所求的是dp[0]。

初始化dp[n]=0,因为n到n的期望为0。

之后先讨论下i为n-1到n-k的时候。

我们可以列出转移方程(随便写几个

$dp[n-1]=\tfrac{1}{k}*(dp[n]+dp[n-1]+dp[n-2]+\cdot \cdot \cdot +dp[n-k+1])+1$

$dp[n-2]=\tfrac{1}{k}*(dp[n-1]+dp[n]+dp[n-1]+\cdot \cdot \cdot +dp[n-k+2])+1$

$\cdot \cdot \cdot\cdot \cdot \cdot$

$dp[n-k]=\tfrac{1}{k}*(dp[n-k+1]+dp[n-k+2]+dp[n-k+3]+\cdot \cdot \cdot +dp[n])+1$

这时候自(mang)信(fu)同学可能就直接上高斯消元了，而善于发现的老哥则会很轻松的写出一组解，即：$dp[n-1]=dp[n-2]=dp[n-3]=\cdot \cdot \cdot =dp[n-k]=k$

之后再讨论下i为n-k-1到0的时候

就是很简单的转移：$dp[i]=\tfrac{1}{k}*(dp[i+k]+dp[i+k-1]+dp[i+k-2]+\cdot \cdot \cdot +dp[i+1])+1$

这里就可以直接矩阵快速幂优化。

先上一个8/15AC,7/15RE的不加速代码方便理解：

 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #include<cstring>
 #include<string>
 #include<cmath>
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 const int maxn = 2e5 + ;
 const ll mod = ;
 ll dp[maxn];
 ll qpow(ll a, ll b) {
     ll ans = ;
     while (b) {
         if (b & )ans = ans * a%mod;
         a = a * a%mod;
         b >>= ;
     }
     return ans;
 }
 int main() {
     ll n, k;
     cin >> n >> k;
     ll inv = qpow(k, mod - );
     dp[n] = ;
     ll sum = ;
     for (int i = n - ; i >= n - k; i--)
         dp[i] = k, sum = (sum + dp[i]) % mod;
     for (int i = n - k - ; i >= ; i--)
         dp[i] = (sum * inv + ) % mod, sum = (sum - dp[i + k] + dp[i] + mod) % mod;
     printf("%lld\n", dp[]);
 }

之后是本题正解：(先咕咕一下