python算法（一）基本知识&冒泡排序&选择排序&插入排序

本节内容：

1. 算法基本知识

2. 冒泡排序

3. 选择排序

4. 插入排序

1. 算法基本知识

1.1 什么是算法？

算法(algorithm):就是定义良好的计算过程，他取一个或一组的值为输入，并产生出一个或一组值作为输出。简单来说算法就是一系列的计算步骤，用来将输入数据转化成输出结果。

一个算法的优劣可以用空间复杂度与时间复杂度来衡量。

一个算法应该具有以下七个重要的特征：

①有穷性（Finiteness）：算法的有穷性是指算法必须能在执行有限个步骤之后终止；

②确切性(Definiteness)：算法的每一步骤必须有确切的定义；

③输入项(Input)：一个算法有0个或多个输入，以刻画运算对象的初始情况，所谓0个输入是指算法本身定出了初始条件；

④输出项(Output)：一个算法有一个或多个输出，以反映对输入数据加工后的结果。没有输出的算法是毫无意义的；

⑤可行性(Effectiveness)：算法中执行的任何计算步骤都是可以被分解为基本的可执行的操作步，即每个计算步都可以在有限时间内完成（也称之为有效性）；

⑥高效性(High efficiency)：执行速度快，占用资源少；

⑦健壮性(Robustness)：对数据响应正确。

1.2 时间复杂度

1、什么是时间复杂度

一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。
一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数,用T(n)表示,若有某个辅助函数f(n),使得当n趋近于无穷大时，T(n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=O(f(n)),称O(f(n)) 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。

2、时间复杂度的计算方法

一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试因为该方法有两个缺陷：

• 想要对设计的算法的运行性能进行测评，必须先依据算法编写相应的程序并实际运行。
• 所得时间的统计计算依赖于计算机的硬件、软件等环境因素，有时候容易掩盖算法的本身优势。

所以只需知道哪个算法花费的时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。并且一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。

一般情况下，算法的基本操作重复执行的次数是模块n的某一个函数f(n),因此，算法的时间复杂度记做：T(n)=O(f(n))。随着模块n的增大，算法执行的时间的增长率和f(n)的增长率成正比，所以f(n)越小，算法的时间复杂度越低,算法的效率越高。

在计算时间复杂度的时候，先找出算法的基本操作，然后根据相应的各语句确定它的执行次数，再找出T(n)的同数量级(它的同数量级有以下：1，Log2n ，n ，nLog2n ，n的平方，n的三次方，2的n次方，n!)，找出后，f(n)=该数量级，若T(n)/f(n)求极限可得到一常数c，则时间复杂度T(n)=O(f(n))。

3、常见的时间复杂度

常见的算法时间复杂度由小到大依次为：

Ο(1)＜Ο(log₂n)＜Ο(n)＜Ο(nlog₂n)＜Ο(n²)＜Ο(n³)＜…＜Ο(2ⁿ)＜Ο(n!)

求解算法的时间复杂度的具体步骤：

• 找出算法中的基本语句，算法中执行最多的那条语句是基本语句，通常是最内层循环的循环体。
• 计算基本语句的执行次数的量级，保证最高次幂正确即可查看他的增长率。
• 用大O几号表示算法的时间性能

如果算法中包含镶套的循环，则基本语句通常是最内层的循环体，如果算法中包并列的循环，则将并列的循环时间复杂度相加，如：

for i in range(100):
    print(i)

for i in range(100):
    for j in range(100-i):
        print(j)

第一个for循环的时间复杂度为Ο(n)，第二个for循环的时间复杂度为Ο(n²)，则整个算法的时间复杂度为Ο(n+n²)=Ο(n²)。

常用时间复杂度示例：

Temp=i;i=j;j=temp; 

以上三条单个语句的频度均为1，该程序段的执行时间是一个与问题规模n无关的常数。算法的时间复杂度为常数阶，记作T(n)=O(1)。如果算法的执行时间不随着问题规模n的增加而增长，即使算法中有上千条语句，其执行时间也不过是一个较大的常数。此类算法的时间复杂度是O(1)。

o(1)

2.1. 交换i和j的内容
     sum=0；                 （一次）
     for(i=1;i<=n;i++)       （n次 ）
        for(j=1;j<=n;j++) （n^2次 ）
         sum++；       （n^2次 ）
解：T(n)=2n^2+n+1 =O(n^2)

2.2.
    for (i=1;i<n;i++)
    {
        y=y+1;         ①
        for (j=0;j<=(2*n);j++)
           x++;        ②
    }
解： 语句1的频度是n-1
          语句2的频度是(n-1)*(2n+1)=2n^2-n-1
          f(n)=2n^2-n-1+(n-1)=2n^2-2
          该程序的时间复杂度T(n)=O(n^2).         

O(n^2)

2.3.
    a=0;
    b=1;                      ①
    for (i=1;i<=n;i++) ②
    {
       s=a+b;　　　　③
       b=a;　　　　　④
       a=s;　　　　　⑤
    }
解：语句1的频度：2,
           语句2的频度： n,
          语句3的频度： n-1,
          语句4的频度：n-1,
          语句5的频度：n-1,
          T(n)=2+n+3(n-1)=4n-1=O(n).

o(n)

2.4.
     i=1;       ①
    while (i<=n)
       i=i*2; ②
解： 语句1的频度是1,
          设语句2的频度是f(n),   则：2^f(n)<=n;f(n)<=log2n
          取最大值f(n)= log2n,
          T(n)=O(log2n)

O(log2n)

2.5.
    for(i=0;i<n;i++)
    {
       for(j=0;j<i;j++)
       {
          for(k=0;k<j;k++)
             x=x+2;
       }
    }
解：当i=m, j=k的时候,内层循环的次数为k当i=m时, j 可以取 0,1,...,m-1 , 所以这里最内循环共进行了0+1+...+m-1=(m-1)m/2次所以,i从0取到n, 则循环共进行了: 0+(1-1)*1/2+...+(n-1)n/2=n(n+1)(n-1)/6所以时间复杂度为O(n^3).

O(n^3)

常用的算法的时间复杂度和空间复杂度:

2. 冒泡排序

冒泡排序（Bubble Sort），是一种计算机科学领域的较简单的排序算法。

它重复地走访过要排序的数列，一次比较两个元素，如果他们的顺序错误就把他们交换过来。走访数列的工作是重复地进行直到没有再需要交换，也就是说该数列已经排序完成。

这个算法的名字由来是因为越大的元素会经由交换慢慢“浮”到数列的顶端，故名。

这么说可能大家不太理解，那么咱们还是实例看下吧~！

需求：有如下无序列表，现请调整成有序列表 [90,15,30,89,40]

思路：相邻两个值进行比较，大的数值放到右边，循环比较；

原理图：

原理分析：

列表中有5个元素两两进行比较，如果左边的值比右边的值大,就用中间值进行循环替换！
既然这样，我们还可以用一个循环把上面的循环进行再次循环，用表达式构造出内部循环！

代码实现：

array = [90,15,30,89,40]
def sort(list):
    for i in range(len(list)-1):
        for j in range(len(list)-i-1):
            #-1是因为每次比对的都是j与j+1,不减1的话,最后一次对比会超出list获取范围；
            # -i是因为, 每一次循环就代表排序好了一个最大值,放在了列表最后面,下次循环就不用再运算已经排序好了的值了
            if list[j] > list[j+1]:
                list[j],list[j+1] = list[j+1],list[j]
sort(array)
print(array)

通过上面的代码，我们会发现最终实现了排序[15, 30, 40, 89, 90]

上述代码还可再次优化：当我们执行一遍代码后发现没有交换，说明已经是有序列表，就可以直接结束算法了；

array = [90,15,30,89,40]
def sort(list):
    for i in range(len(list)-1):
        exchange = False
        for j in range(len(list)-i-1):
            #-1是因为每次比对的都是i与i+1,不减1的话,最后一次对比会超出list获取范围；
            # -j是因为, 每一次循环就代表排序好了一个最大值,放在了列表最后面,下次循环就不用再运算已经排序好了的值了
            if list[j] > list[j+1]:
                list[j],list[j+1] = list[j+1],list[j]
                exchange = True
        if not exchange:
            return
sort(array)
print(array)

3. 选择排序

4. 插入排序