B - Sumdiv(第三周)

B - Sumdiv

题目链接：https://vjudge.net/contest/154063#problem/B

题意：

求A^B的所有约数（即因子）之和，并对其取模 9901再输出。

解题思路：

要求有较强 数学思维 的题

应用定理主要有三个：

要求有较强 数学思维 的题

应用定理主要有三个：

（1） 整数的唯一分解定理：

  任意正整数都有且只有一种方式写出其素因子的乘积表达式。

  A=(p1^k1)*(p2^k2)*(p3^k3)*....*(pn^kn)   其中pi均为素数

（2） 约数和公式：

对于已经分解的整数A=(p1^k1)(p2^k2)(p3^k3)….(pn^kn)

有A的所有因子之和为

S = (1+p1+p1^2+p1^3+...p1^k1) * (1+p2+p2^2+p2^3+….p2^k2) * (1+p3+ p3^3+…+ p3^k3) * .... * (1+pn+pn^2+pn^3+...pn^kn)

（3） 同余模公式：

(a+b)%m=(a%m+b%m)%m

(a*b)%m=(a%m*b%m)%m

有了上面的数学基础，那么本题解法就很简单了：

1: 对A进行素因子分解

分解A的方法：

A首先对第一个素数2不断取模，A%2==0时 ，记录2出现的次数+1，A/=2；

当A%2!=0时，则A对下一个连续素数3不断取模…

以此类推，直到A==1为止。

注意特殊判定，当A本身就是素数时，无法分解，它自己就是其本身的素数分解式。

最后得到A = p1^k1 * p2^k2 * p3^k3 … pn^kn. 
故 A^B = p1^(k1*B) * p2^(k2*B) … pn^(kn*B);

2：A^B的所有约数之和为：

 sum = [1+p1+p1^2+...+p1^(a1*B)] * [1+p2+p2^2+...+p2^(a2*B)] *...* [1+pn+pn^2+...+pn^(an*B)].

3: 用递归二分求等比数列1+pi+pi^2+pi^3+…+pi^n：

（1）若n为奇数,一共有偶数项，则： 
1 + p + p^2 + p^3 +…+ p^n

  = (1+p^(n/2+1)) + p * (1+p^(n/2+1)) +...+ p^(n/2) * (1+p^(n/2+1))
  = (1 + p + p^2 +...+ p^(n/2)) * (1 + p^(n/2+1))

（2）若n为偶数,一共有奇数项,则: 
1 + p + p^2 + p^3 +…+ p^n

  = (1+p^(n/2+1)) + p * (1+p^(n/2+1)) +...+ p^(n/2-1) * (1+p^(n/2+1)) + p^(n/2)
  = (1 + p + p^2 +...+ p^(n/2-1)) * (1+p^(n/2+1)) + p^(n/2);

4：反复平方法计算幂次式p^n

这是本题关键所在，求n次幂方法的好坏，决定了本题是否TLE。

以p=2，n=8为例

常规是通过连乘法求幂，即2^8=2*2*2*2*2*2*2*2

这样做的要做8次乘法

而反复平方法则不同，

定义幂sq=1，再检查n是否大于0，

While，循环过程若发现n为奇数，则把此时的p值乘到sq

{

n=8>0 ，把p自乘一次， p=p*p=4 ，n取半 n=4

n=4>0 ，再把p自乘一次， p=p*p=16 ，n取半 n=2

n=2>0 ，再把p自乘一次， p=p*p=256 ，n取半 n=1，sq=sq*p

n=1>0 ，再把p自乘一次， p=p*p=256^2 ，n取半 n=0，弹出循环

}

则sq=256就是所求，显然反复平方法只做了3次乘法

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
using namespace std;
const int MOD=;
typedef long long LL;
int p[];
int n[];
int A,B;
int ji(int A)
{
    int k=,i;
    for(i=; i*i<=A;)
    {
        if(A%i==)
        {
            n[k]=;
            p[k]=i;
            while(!(A%i))
            {
                n[k]++;
                A/=i;
            }
            k++;
        }
        if(i==)
            i++;
        else i+=;
    }
    if(A!=)
    {
        p[k]=A;
        n[k++]=;
    }
    return k;
}

LL pow(LL p,LL n)
{
    LL ans=;
    while(n>)
    {
        if(n%)   ans=(ans*p)%MOD;
        n/=;
        p=p*p%MOD;
    }
    return ans;
}

LL sum(LL p,LL n)
{
    if(n==)
        return ;
    if(n%)
        return (sum(p,n/)*(+pow(p,n/+)))%MOD;
    else return (sum(p,n/-)*(+pow(p,n/+))+pow(p,n/))%MOD;
}
int main()
{

    scanf("%d%d",&A,&B);
    int k,i,s;
    k = ji(A);
    s = ;
    for(i=; i<k; i++)
    {
        s = (s*(sum(p[i],n[i]*B)%MOD))%MOD;
    }
    printf("%d\n",s);
    return ;
}