【bzoj 4025 改编版】graph

题意

　　 给定一张 \(n\) 个点 \(m\) 条边的无向图，问删去每个点后，原图是不是二分图。输出一个长度为 \(n\) 的 \(\text{01}\) 串表示答案。

　　 多组数据。

　　 \(T\le 5,\space 1\le n,m\le 10^5,\space 1\le u,v\le n,\space u≠v\)

题解

　　 不难发现，一个没有奇环（奇数条边的环）的图就是二分图。

　　 考虑分治，若一个分治区间外的点已经连出了奇环，那删掉这个区间的每个点的答案都是 \(0\)。若分治到区间长度为 \(1\) 时，这个区间外的点还没连出奇环，那删掉这个点的答案就是 \(1\)。

　　 可以用并查集检测奇环，但由于分治回溯时需要撤销连边，不能路径压缩，所以用按秩合并的并查集。注意按照大小合并，按深度合并会 TLE。

　　 考虑如何判断新加的一条边的两端点是否颜色相同（即是否连出奇环）。

　　 初始时设每个点的颜色为 \(0\)（也可以为 \(1\)，这里为了让接下来的操作方便理解，就设成 \(0\)）。不难发现当两个并查集合并时，连接这两个并查集的边的两端点的颜色可能相同，这时我们最简单的解决方式是 把小的并查集的所有点的颜色都反转。

　　 但是我们显然不能暴力扫一遍子树，这样复杂度是错的。

　　 回想一下，我们按秩合并的并查集的深度是不是 \(\log\) 的？

　　 那我们求一个点的颜色时，只需要从这个点往根扫一遍就行了吧？

　　 所以我们只需要修改小的并查集的根节点颜色。具体地，并查集的每个点维护一个 \(\text{01}\) 标记，\(\text{0}\) 表示以该点为根的子树不翻转颜色，\(\text{1}\) 表示以该点为根的子树翻转颜色。一个点的颜色就是 该点 到 其所在的并查集的根节点 上所有点颜色的异或和。

　　 一个细节：边一定都是从小分治区间的点 往大分治区间的点连。

#include<bits/stdc++.h>
#define N 100010
using namespace std;
inline int read(){
    int x=0; bool f=1; char c=getchar();
    for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=0;
    for(; isdigit(c);c=getchar()) x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0';
    if(f) return x;
    return 0-x;
}

int n,m,col[N],fa[N],siz[N];
char ans[N];

struct edge{int v,nxt;}e[N<<1];
int hd[N],cnt;
inline void add(int u, int v){e[++cnt]=(edge){v,hd[u]}, hd[u]=cnt;}

struct DSU{int u,v,col_u,col_v,siz_u,siz_v;}stk[N],tmp;
int top;

inline void init(){
    top=cnt=0;
    ans[n+1]=0;
    for(int i=1; i<=n; ++i) hd[i]=col[i]=0, siz[i]=1, fa[i]=i;
}
int find_fa(int x){
    return fa[x]==x ? x : find_fa(fa[x]);
}
int find_col(int x){
    if(fa[x]==x) return col[x]; //显然根的col为0
    return find_col(fa[x])^col[x];
}
int merge(int u, int v){
    int fa_u=find_fa(u), fa_v=find_fa(v);
    int col_u=find_col(u), col_v=find_col(v);
    //cout<<u<<' '<<v<<' '<<fa_u<<' '<<fa_v<<' '<<col_u<<' '<<col_v<<endl;
    if(fa_u==fa_v){
        if(col_u==col_v) return 0;
        return 1;
    }
    int rt,son;
    if(siz[fa_u]<siz[fa_v]) rt=fa_v, son=fa_u;
    else rt=fa_u, son=fa_v;
    //cout<<rt<<endl;
    stk[++top] = (DSU){rt,son,col[rt],col[son],siz[rt],siz[son]};
    if(col_u==col_v) col[son]^=1;
    fa[son]=rt, siz[rt]+=siz[son];
    return 1;
}
void undo(int pre){
    //printf("undo\n");
    while(top>pre){
        tmp=stk[top--];
        int u=tmp.u, v=tmp.v;
        col[u]=tmp.col_u, col[v]=tmp.col_v;
        fa[u]=u, fa[v]=v;
        siz[u]=tmp.siz_u, siz[v]=tmp.siz_v;
    }
}
int unite(int l, int r, int a, int b){
    //printf("unite\n");
    for(int j=l; j<=r; ++j)
        for(int i=hd[j]; i; i=e[i].nxt){
            if(a<=e[i].v && e[i].v<=b) continue;
            if(!merge(j,e[i].v)) return 0;
        }
    return 1;
}
void cdq(int l, int r, bool flag){
    //printf("cdq:%d %d  %d\n",l,r,flag);
    if(l==r){ans[l]=flag+'0'; return;}
    int mid=l+r>>1;
    if(!flag){
        cdq(l,mid,0), cdq(mid+1,r,0);
        return;
    }
    int pre=top; bool now=unite(mid+1,r,l,mid);
    cdq(l,mid,now), undo(pre);
    now = unite(l,mid,mid+1,r);
    cdq(mid+1,r,now), undo(pre);
}
int main(){
    int T=read();
    while(T--){
        n=read(), m=read();
        init();
        int u,v;
        for(int i=1; i<=m; ++i) u=read(), v=read(), add(u,v), add(v,u);
        cdq(1,n,1);
        printf("%s\n",ans+1);
    }
    return 0;
}