【uoj#310】[UNR #2]黎明前的巧克力 FWT

题目描述

给出 $n$ 个数，从中选出两个互不相交的集合，使得第一个集合与第二个集合内的数的异或和相等。求总方案数。

输入

第一行一个正整数 $n$ ，表示巧克力的个数。
第二行 $n$ 个整数 $a_i$ 表示每个巧克力的美味值。

输出

输出一行一个整数，表示能使得他们心情契合的吃巧克力的方案数对 998244353 取模的结果。

样例输入

6
1 2 3 4 5 6

样例输出

80

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题解

FWT

首先如果两个集合的异或相等，那么它们的异或为0。原问题转化为求选出一个异或和为0的集合并分为两个即可的方案数。

那么设 $f[i][j]$ 表示前 $i$ 个数中选出的数的异或和为 $j$ 的方案数。那么就有 $f[i][j]=f[i-1][j]+2·f[i-1][j\ xor\ a[i]]$ 。

可以发现这是一个异或卷积的形式，相当于每次卷的是：$b[0]=1,b[a[i]]=2$ ，然而并无卵用 = =

考虑对这个过程进行FWT，那么：

0对每个位置的贡献都是1；
a[i]对某些位置的贡献是2，对某些位置的贡献是-2。

所以每次卷上的 $b$ 数组的每个数都是-1或3。

另有：和的FWT等于FWT的和。

因此把它们求和后进行FWT，那么就知道了每个位置FWT的和。

由于只有-1和3，因此可以解出-1和3的个数，然后快速幂处理一下即可。

最终再逆FWT回来即可。

时间复杂度 $O(n\log n)$

#include <cstdio>
#define N 1050000
#define mod 998244353
typedef long long ll;
ll a[N] , b[N];
ll pow(ll x , ll y)
{
	ll ans = 1;
	while(y)
	{
		if(y & 1) ans = ans * x % mod;
		x = x * x % mod , y >>= 1;
	}
	return ans;
}
void fwt(ll *a , int n , int flag)
{
	int i , j , k , t;
	for(i = 1 ; i < n ; i <<= 1)
		for(j = 0 ; j < n ; j += (i << 1))
			for(k = j ; k < j + i ; k ++ )
				t = a[k] , a[k] = (t + a[k + i]) * flag % mod , a[k + i] = (t - a[k + i] + mod) * flag % mod;
}
int main()
{
	int n , mx = 0 , m = 1 , i , x;
	scanf("%d" , &n);
	for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
	{
		scanf("%d" , &x) , a[0] ++ , a[x] += 2;
		if(mx < x) mx = x;
	}
	while(m <= mx) m <<= 1;
	fwt(a , m , 1);
	for(i = 0 ; i < m ; i ++ )
	{
		x = (n + a[i]) * 748683265 % mod;
		if(((x + n) % mod) & 1) b[i] = (mod - pow(3 , x)) % mod;
		else b[i] = pow(3 , x);
	}
	fwt(b , m , 499122177);
	printf("%lld\n" , (b[0] - 1 + mod) % mod);
	return 0;
}