最短路问题(floyd算法)(优化待续)
问题描述:
最短路问题(short-path problem):若网络中的每条边都有一个数值(长度、成本、时间等),则找出两节点(通常是源节点和阱节点)之间总权和最小的路径就是最短路问题。最短路问题是网络理论解决的典型问题之一,可用来解决管路铺设、线路安装、厂区布局和设备更新等实际问题。
1.floyd算法
算法描述:
Floyd算法又称为插点法,是一种用于寻找给定的加权图中多源点之间最短路径的算法。该算法名称以创始人之一、1978年图灵奖获得者、斯坦福大学计算机科学系教授罗伯特·弗洛伊德命名。
时间复杂度:O(n^3) 空间复杂度:O(n^2)
可以看下这篇文章,讲得非常清楚:http://blog.chinaunix.net/uid-26548237-id-3834873.html
下面就讲下我对这个算法的理解:
首先这个算法能做的事,就是寻找给定的加权图中多源点之间最短路径
也就是这张图:
这里有N个点,互相之间的路径长度不一,怎么求其中任意两点的最短路径。
floyd算法的思路就是从比较入手,比较两点直接连通和隔一个点连通的长度。
从v0开始,遍历任意两个点,寻找有没有两个点通过v0的最短路径比这两点直接连通的要短。
比如v0和v2,要比较这两个点直接连通和隔一个点连通的长度。从图上可知,v0-v2的最短路径是经过v1,走0-1-2,而不是直接0-2。所以结果是经过v1比直接连通要短。
再比如v0和v4,要比较这两个点直接连通和隔一个点连通的长度,但v0和v4没有直接连通怎么办,就设v0-v4直接连通的长度是无穷大,这样不管是经过v1还是经过v2,都比直接连通的长度要短。
找到后怎么办,就把最短的长度和路径结果保存起来,以此再遍历下一个点v1,继续比较。
全部遍历一遍后,就可以得到任意两点之间的最短路径了。
具体实现如下:
#include <iostream>
using namespace std; #define MAXVEX 20
#define MAXEDGE 20
#define INFINITY 65535 typedef struct
{
int vexs[MAXVEX];
int arc[MAXVEX][MAXVEX];
int numVertexes,numEdges;
}MGraph; typedef int Patharc[MAXVEX][MAXVEX];
typedef int ShortPathTable[MAXVEX][MAXVEX]; void CreateGraph(MGraph* G)
{
cout<<"请输入边数和顶点数:\n";
int d,n,i,j;
cin>>d>>n;
G->numVertexes = n;
G->numEdges = d; //给顶点和边初始化
for(i = ;i<G->numVertexes;i++)
G->vexs[i] = i;
for(i = ;i<G->numVertexes;i++)
{
for(j = ;j<G->numVertexes;j++)
{
if(i==j)
G->arc[i][j] = ;
else
G->arc[i][j] = G->arc[j][i] = INFINITY;
}
} G->arc[][]=;
G->arc[][]=;
G->arc[][]=;
G->arc[][]=;
G->arc[][]=; G->arc[][]=;
G->arc[][]=;
G->arc[][]=;
G->arc[][]=;
G->arc[][]=; G->arc[][]=;
G->arc[][]=;
G->arc[][]=;
G->arc[][]=;
G->arc[][]=; G->arc[][]=; for(i = ;i<G->numVertexes;i++)
{
for(j = i;j<G->numVertexes;j++)
{
G->arc[j][i] = G->arc[i][j];
}
}
} /* Floyd算法,求网图G中各顶点v到其余顶点w的最短路径P[v][w]及带权长度D[v][w]。 */
void ShortestPath_Floyd(MGraph G, Patharc *P, ShortPathTable *D)
{
int v,w,k;
for(v = ;v<G.numVertexes;v++)
{
for(w = ;w<G.numVertexes;w++)
{
(*P)[v][w] = w;
/* 初始化P */
(*D)[v][w] = G.arc[v][w];
/* D[v][w]值即为对应点间的权值 */
} }
for(k = ;k<G.numVertexes;k++)
{
for(v = ;v<G.numVertexes;v++)
{
for(w = ;w<G.numVertexes;w++)
{
if((*D)[v][w]>(*D)[v][k]+(*D)[k][w])
{
(*D)[v][w] = (*D)[v][k]+(*D)[k][w];
(*P)[v][w] = (*P)[v][k];
} } }
} } int main()
{
int v,w,k=-; MGraph G; Patharc P;
ShortPathTable D; CreateGraph(&G); ShortestPath_Floyd(G,&P,&D); cout<<"各区间最短路径如下:\n";
for(v = ;v<G.numVertexes;v++)
{
for(w = v+;w<G.numVertexes;w++)
{
cout<<"v"<<v<<"-v"<<w<<" weight: "<<D[v][w];
k = P[v][w];
cout<<" path: "<<v;
while(k!=w)
{
cout<<" -> "<<k;
k = P[k][w];
}
cout<<" -> "<<w<<" "<<endl;
}
cout<<endl; } cout<<"最短路径D\n"; for(v=; v<G.numVertexes; ++v)
{
for(w=; w<G.numVertexes; ++w)
{
cout<<D[v][w]<<" ";
}
cout<<endl;
} cout<<"最短路径P\n"; for(v=; v<G.numVertexes; ++v)
{
for(w=; w<G.numVertexes; ++w)
{
cout<<P[v][w]<<" ";
}
cout<<endl;
} return ; }
算法优化:
floyd(权值非负)适用于有向图和无向图
1 floyd 的思想就是通过枚举n个点利用DP的思想来更新最短距离的,假设当前枚举到第k个点,那么就有任意的两个点i , j ,如果i k 相连 j k 相连 那么就可以知道这个时候dis[i][j] = min(dis[i][j] , dis[i][k] + dis[k][j]);,那么只要枚举完n个点,那么就说明已经完全更新完所有两点直间的最短路。
2 floyd算法是最简单的最短路径的算法,可以计算图中任意两点间的最短路径。floyd算法的时间复杂度为o(n^3),如果是一个没有边权的图,把相连的两点间的距离设为dis[i][j]=1.不相连的两点设为无穷大,用floyd算法可以判断i j两点是否相连。
3 floyd 算法不允许所有的权值为负的回路。可以求出任意两点之间的最短距离。处理的是无向图
4 缺点是时间复杂度比较高,不适合计算大量数据
5 如果dis[i][i] != 0,说明此时存在环。
6 如果利用floyd求最小值的时候,初始化dis为INF , 如果是求最大值的话初始化为-1.
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