【XSY2721】求和 杜教筛

题目描述

　　设\(n=\prod a_i^{p_i}\)，那么定义\(f_d(n)=\prod{(-1)^{p_i}[p_i\leq d]}\)。特别的，\(f_1(n)=\mu(n)\)。

　　给你\(n,k\)，求

\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sum_{d=1}^kf_d(\gcd(i,j))
\]

　　\(n\leq {10}^{10},k\leq 40\)

题解

　　先做一些简单的处理

\[\begin{align}
ans&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sum_{d=1}^kf_d(\gcd(i,j))\\
&=\sum_{i=1}^n\sum_{d=1}^kf_d(i)(2(\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{n}{i}\rfloor}\varphi(j))-1)
\end{align}
\]

　　后面\(\varphi\)用杜教筛可以在\(O(n^\frac{2}{3})\)内搞出来。

　　设\(\lambda(n)=f_\infty(n)=\prod{(-1)}^{p_i}\)

　　考虑容斥，有：

\[f_d(n)=\lambda(n)\sum_{i^d|n}\mu(i)
\]

\[\begin{align}
F_d(n)&=\sum_{i=1}^nf_d(i)\\
&=\sum_{i=1}^n\lambda(i)\sum_{j^d|i}\mu(j)\\
&=\sum_{i=1}^n\mu(i)\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{n}{i^{d+1}}\rfloor}\lambda(i^{d+1}j)\\
&=\sum_{i=1}^{\lfloor\sqrt[d+1]{n}\rfloor}\lambda^{d+1}(i)\mu(i)\Lambda(\lfloor\frac{n}{i^{d+1}}\rfloor)
\end{align}
\]

　　\(n\leq {10}^7\)的部分预处理，其他的每次枚举。这部分每次枚举是\(\sqrt{n}\)的。总的是\(O(n^\frac{2}{3})\)的。（和杜教筛的分析方法一样。）

\[\begin{align}
\sum_{j|i}\lambda(j)&=[i是完全平方数]\\
\sum_{i=1}^n\sum_{j|i}\lambda(j)&=\sqrt{n}\\
\sqrt{n}=\sum_{i=1}^n\sum_{j}[j|i]\lambda(i)&=\sum_{\frac{i}{j}=1}^n\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{n}{\frac{i}{j}}\rfloor}\lambda(j)
=\sum_{i=1}^n\Lambda(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor)\\
\Lambda(n)&=\sqrt {n}-\sum_{i=2}^n\Lambda(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor)
\end{align}
\]

　　后面\(\Lambda(n)\)用杜教筛可以在\(O(n^\frac{2}{3})\)内搞出来

　　反正总的是\(O(n^\frac{2}{3})\)的就对了。。。

　　时间复杂度：\(O(n^\frac{2}{3})\)

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
int getsqrt(ll n)
{
	int l=1,r=1000000;
	while(l<r)
	{
		int mid=(l+r+1)>>1;
		if((ll)mid*mid>n)
			r=mid-1;
		else
			l=mid;
	}
	return l;
}
ll n;
ll _sqrt;
namespace hashset
{
	int getnum(ll x)
	{
		return n/x;
	}
}
using hashset::getnum;
int miu[10000010];
int phi[10000010];
int c[10000010];
int cs[10000010];
const int maxn=10000000;
int b[10000010];
int pri[1000010];
int cnt;
int d[10000010];
int e[10000010];
int f[10000010];
int k;
int vis[10000010];
int qp[10000010];
int qc[10000010];
void init()
{
	c[1]=phi[1]=miu[1]=f[1]=e[1]=1;
	d[1]=f[1]=0;
	int i,j;
	for(i=2;i<=maxn;i++)
	{
		if(!b[i])
		{
			miu[i]=-1;
			phi[i]=i-1;
			c[i]=-1;
			pri[++cnt]=i;
			d[i]=e[i]=1;
			f[i]=1;
		}
		for(j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=maxn;j++)
		{
			b[i*pri[j]]=1;
			c[i*pri[j]]=-c[i];
			f[i*pri[j]]=f[i]+1;
			if(i%pri[j]==0)
			{
				miu[i*pri[j]]=0;
				phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];
				d[i*pri[j]]=d[i]+1;
				e[i*pri[j]]=max(d[i*pri[j]],e[i]);
				break;
			}
			d[i*pri[j]]=1;
			e[i*pri[j]]=e[i];
			miu[i*pri[j]]=-miu[i];
			phi[i*pri[j]]=phi[i]*phi[pri[j]];
		}
	}
	for(i=1;i<=maxn;i++)
	{
		if(e[i]>k)
			f[i]=0;
		else
			f[i]=(f[i]&1?-1:1)*(k-e[i]+1);
		f[i]+=f[i-1];
//		miu[i]+=miu[i-1];
		phi[i]+=phi[i-1];
		cs[i]=cs[i-1]+c[i];
	}
}
int getphi(ll n)
{
	if(n<=maxn)
		return phi[n];
	int x=getnum(n);
	if(vis[x]&1)
		return qp[x];
	vis[x]|=1;
	ll i,j;
	int s=n*(n+1)>>1;
	for(i=2;i<=n;i=j+1)
	{
		j=n/(n/i);
		s-=(j-i+1)*getphi(n/i);
	}
	qp[x]=s;
	return s;
}
int getc(ll n)
{
	if(n<=maxn)
		return cs[n];
	int x=getnum(n);
	if(vis[x]&2)
		return qc[x];
	vis[x]|=2;
	int s=getsqrt(n);
	ll i,j;
	for(i=2;i<=n;i=j+1)
	{
		j=n/(n/i);
		s-=(j-i+1)*getc(n/i);
	}
	qc[x]=s;
	return s;
}
ll pw[1000010];
int pw2[1000010];
int pw3[1000010];
int getfd(ll n)
{
	if(n<=maxn)
		return f[n];
	int i,j;
	for(i=1;(ll)i*i<=n;i++)
	{
		pw[i]=i;
		pw2[i]=pw3[i]=c[i];
	}
	int m=i-1;
	int s=0;
	for(j=1;j<=k;j++)
	{
		for(i=1;i<=m;i++)
		{
			pw[i]*=i;
			if(pw[i]>n)
				break;
			pw2[i]*=pw3[i];
			s+=miu[i]*pw2[i]*getc(n/pw[i]);
		}
	}
	return s;
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("b.in","r",stdin);
	freopen("b.out","w",stdout);
#endif
	scanf("%lld%d",&n,&k);
	_sqrt=getsqrt(n);
	init();
	int s=0;
	ll i,j;
	int now,last=0;
	int ans=0;
	for(i=1;i<=n;i=j+1)
	{
		j=n/(n/i);
		now=getfd(j);
		ans+=(now-last)*(2*getphi(n/i)-1);
		last=now;
	}
	ans&=(1<<30)-1;
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}