MT【284】构造函数的导数的两类题型

第一类:

已知定义在$R$上的奇函数$f(x),f(-1)=0,$当$x>0$时,$xf^{'}(x)-f(x)<0,$则$f(x)>0$的解集为____

第二类:

已知函数$f(x)$满足$x^2f^{'}(x)+2xf(x)=\dfrac{e^x}{x},f(2)=\dfrac{e^2}{8}$则$x>0$时,$f(x)$  （     ）
A.有极大值,无极小值

B.有极小值,无极大值

C.既有极大值,又有极小值

D.既无极大值,也无极小值

分析：

第一类:

答案$(-\infty,-1)\cup (0,1) $
提示:构造函数$g(x)=\dfrac{f(x)}{x}$
注:一般的函数构造考虑$g(x)=x^bf(x)\vee g(x)=e^{ax}f(x)\vee g(x)=e^{ax}x^bf(x)$

第二类：

分析:由$x^2f^{'}(x)=\dfrac{e^x}{x}-2xf(x)$
得$x^3f^{'}(x)=e^x-2x^2f(x)$
得$(x^3f^{'}(x))^{'}=e^x-2\dfrac{e^x}{x}=\dfrac{e^x(x-2)}{x}$
易得$g(x)=x^3f^{'}(x)\ge g(2)=8f^{'}(2)=0$,故$f^{'}(x)$在$(-\infty,0)$为负,在$(0,+\infty)$为正.
故$f(x)$在$(0,+\infty)$无极值.

注:这是两类题,一类是构造的函数的导数可知正负；第二类构造的函数的导数为一个具体函数，操作步骤如上题所演示.

练习:已知定义在$R$上的函数$f(x)$的导函数为$f^{'}(x)$,且$2f(x)+xf^{'}(x)>x^2$,则下面正确的是(     )
A$f(x)>0$
B$f(x)<0$
C$f(x)>x$
D$f(x)<x$
答案A.
提示:

$x>0$时$2xf(x)+x^2f^{'}(x)>x^3>0$   $x<0$时$2xf(x)+x^2f^{'}(x)<x^3<0$

故$g(x)=x^2f(x)\ge g(0)=0$,易得$f(x)>0$