Luogu P4248 [AHOI2013]差异

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神仙题。或者可能我太菜了没见过后缀数组的骚操作，然后就被秀了一脸\(hhhhh\)

$$\sum\limits_{1<=i < j <= n} len(T_i) + len(T_j) - 2 * lcp (T_i, T_j)$$

这个式子我们显然可以把前面拆出来当常数算（\({(n - 1) * n * (n + 1) }/ 2\)），剩下的就是怎么计算每个区间的\(lcp\)之和了。

这个问题，我们转化成后缀数组的\(height\)来进行计算。仔细思考会发现，原字符串的每对\(i\)和\(j\)事实上和\(height\)数组的每一段区间\([rk[i], rk[j]]\)一一对应。至此，我们的问题又转化成了求\(height\)数组上的每一个区间的最小值之和。

暴力求显然是\(O(N^2)\)的，承受不住。根据\(lcp\)具有可合并性$ min(lcp (T_i,T_ j), lcp (T_{j + 1}, T_{k})) = lcp (T_i, T_k)\(，而\)height\(数组又代表了\)lcp(T_i, T_{sa[rk[i ] - 1]})$，那么我们就可以这么做：

• 设\(dp[i]\)为\(height\)数组中前缀\(i\)的每一个后缀贡献出的答案。

• 对于任意\(i > p\)，当\(height[i] >= height[p]\)时，我们可以在所有\(height[p]\)统治的答案里，在后面缀上一个\([p-1,i]\)的区间，所以可以认为是：前缀\(i\)的贡献中，还要包含一个前缀\(p\)的总贡献。

• 所以只要计算最近的一个\(p\)就可以囊括\([1,p]\)内的所有答案，维护最近的小于\(height[i]\)的\(p\)的位置即可。

• 所以有\(f[i] = f[p] + (i - p) * height[i];\)

• 如果\(i\)的前面不存在\(p\)，满足\(height[p] <= height[i]\)，那么前缀\([1,i]\)的所有后缀\(height\)的最小值都是\(height[i]\)（被\(i\)统治），即贡献为\(i * height[i]\)。

为了维护前一个比\(height[i]\)小的\(height\)值的相关信息，我们需要开一个递增的单调栈，遍历到\(i\)时弹出所有\(height\)值小于\(height[i]\)的元素，结束时再插入该\(height\)。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define LL long long
const int N = 500010;

char s[N];
int n, m = 255, sa[N], tp[N];
int rk[N], _rk[N], bin[N], height[N];

void base_sort () {
	for (int i = 0; i <= m; ++i) bin[i] = 0;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) bin[rk[tp[i]]]++;
	for (int i = 1; i <= m; ++i) bin[i] += bin[i - 1];
	for (int i = n; i >= 1; --i) sa[bin[rk[tp[i]]]--] = tp[i];
}

void suffix_sort () {
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		tp[i] = i;
		rk[i] = s[i - 1];
	}
	base_sort ();
	for (int w = 1; w <= n; w <<= 1) {
		int cnt = 0;
		for (int i = n - w + 1; i <= n; ++i) {
			tp[++cnt] = i;
		}
		for (int i = 1; i <= n; ++i) {
			if (sa[i] > w) {
				tp[++cnt] = sa[i] - w;
			}
		}
		base_sort ();
		memcpy (_rk, rk, sizeof (rk));
		rk[sa[1]] = cnt = 1;
		for (int i = 2; i <= n; ++i) {
			rk[sa[i]] = _rk[sa[i]] == _rk[sa[i - 1]] && _rk[sa[i] + w] == _rk[sa[i - 1] + w] ? cnt : ++cnt;
		}
		if (cnt == n) break;
		m = cnt;
	}
	// printf ("sa : ");for (int i = 1; i <= n; ++i) printf ("%d ", sa[i]); printf ("\n");
}

void get_height () {
	int  k = 0;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		if (k) k--;
		int j = sa[rk[i] - 1];
		while (s[i + k - 1] == s[j + k - 1]) ++k;
		height[rk[i]] = k;
	}
	// printf ("height : ");
	// for (int i = 1; i <= n; ++i) {
	// 	printf ("%d ", height[i]);
	// }
	// printf ("\n");
}

struct node {
	int pos, val;
	node (int ppos = 0, int vval = 0) {pos = ppos, val = vval;}
};

node sta[N]; int top;
LL f[N];

int main () {
	scanf ("%s", s);
	n = strlen (s);
	suffix_sort ();
	get_height ();
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		while (top > 0 && sta[top].val > height[i]) --top;
		//使sta[top].val <= height[i];
		if (top > 0) {
			int p = sta[top].pos; //p记录控制范围
			f[i] = f[p] + (i - p) * height[i];
		} else {
			f[i] = i * height[i];
		}
		sta[++top] = node (i, height[i]);
	}
	LL ans = 1LL * (n - 1) * n * (n + 1) / 2;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		ans -= 2 * f[i];
	}
	cout << ans << endl;
}