bzoj2460题解

【题意分析】

　　给你一个可重复数集，要求从中选取一个关于异或空间线性无关的子集，使子集的权值和最大。

【解题思路】

　　定义：一个有序对(S,I)称为拟阵当且仅当该有序对满足以下性质：

1.有穷性：S是一个有限集。

2.遗传性：I是S的一类具有遗传性质的非空子集族。具体地说，∀B∈I，若A⊂B，则A∈I。

3.交换性：I满足交换性。具体地说，∀A,B∈I不妨设|A|<|B|，必定存在某一元素x∈B-A，使A∪{x}∈I。

　　衍生概念：

独立子集：给定拟阵M=(S,I)，A称为S的独立子集当且仅当A∈I。

可扩展元素：给定拟阵M=(S,I)与独立子集A∈I，若存在x∈S但x∉A，使得A∪{x}∈I，则称x为A的可扩展元素。

　　我们可以构造关于可重数集S的一个有序对M=(S,I)，S所有的线性基的集合为I，M满足拟阵的性质的证明如下：

1.有穷性：显然存在有限线性基的情况下S是有限的。

2.遗传性：显然一个线性基的任意独立子集都关于异或空间线性无关。（根据线性基定义可得）

3.交换性：

　　求证：∀A,B∈I不妨设|A|<|B|，必定存在某一元素x∈B-A，使A∪{x}∈I。

　　证明：

　　　　我们假设∀A,B∈I不妨设|A|<|B|，∀x∈B-A，都有A∪{x}∉I。

　　　　于是有B与A的差集包含于A的异或空间，又显然B与A的交集包含于A的异或空间，则B包含于A的异或空间。

　　　　所以整个B的异或空间包含于A的异或空间，又A,B均线性无关，则有|A|>|B|，与前提|A|<|B|矛盾。命题得证。

　　引理：带权拟阵的贪心算法正确性证明(懒得写了QAQ，戳这里)

　　这样我们证明了权值和最大的线性基可以用贪心算法构造，所以按权值排序后贪心加入即可。复杂度O(n(log₂n+log₂∑number_i))。

【参考代码】

 #include <algorithm>
 #include <cstdio>
 #include <functional>
 #include <utility>
 #define REP(i,low,high) for(register int i=(low);i<=(high);++i)
 #define PER(i,high,low) for(register int i=(high);i>=(low);--i)
 #define __function__(type) __attribute__((optimize("-O2"))) inline type
 #define __procedure__ __attribute__((optimize("-O2"))) inline void
 using namespace std;
 typedef pair<int,long long> PIL;

 static int n; long long base[]; PIL a[];

 __function__(bool) push(const long long&n)
 {
     long long x=n; PER(i,,) if((x>>i)&)
     {
         if(!base[i]) return base[i]=x,; x^=base[i];
     }
     return ;
 }

 int main()
 {
     scanf("%d",&n);
     REP(i,,n) scanf("%lld%d",&a[i].second,&a[i].first);
     int ans=; sort(a+,a+n+,greater<PIL>());
     REP(i,,n) ans+=push(a[i].second)*a[i].first;
     return printf("%d\n",ans),;
 }