算法8-5：Prim算法

Prim算法用于计算最小生成树。Prim算法分为两种，一种是懒汉式，一种是饿汉式。

懒汉式Prim

懒汉式Prim算法过程例如以下：

1. 首先将顶点0增加到MST中

2. 从MST与未訪问顶点之间边中选出最短的边。在满足MST的前提下，将这条边增加到MST

代码

import java.util.LinkedList;
import java.util.List;

public class LazyPrim {
    private MinPQ<Edge> pq = new MinPQ<Edge>();
    private List<Edge> mst = new LinkedList<Edge>();
    private boolean[] visited;

    public LazyPrim(EdgeWeightedGraph G) {
        visited = new boolean[G.V()];

        // 将第一个顶点增加到MST中
        visit(G, 0);

        // 依次选出最短的边
        while (!pq.isEmpty()) {
            Edge minEdge = pq.popMin();
            int v = minEdge.either();
            int w = minEdge.other(v);

            // 忽略造成回路的边
            if (visited[v] && visited[w]) {
                continue;
            }

            // 訪问该点。将该边增加到MST
            if (!visited[v]) visit(G, v);
            else visit(G, w);
            mst.add(minEdge);
        }
    }

    public Iterable<Edge> edges() {
        return mst;
    }

    public double weight() {
        double result = 0;
        for (Edge e : edges()) {
            result += e.weight();
        }
        return result;
    }

    private void visit(EdgeWeightedGraph G, int v) {
        // 将该点标记为已訪问
        visited[v] = true;

        // 将该点伸展的边增加到优先级队列中
        for(Edge e:G.adj(v)){
            int w = e.other(v);
            if(!visited[w]) {
                pq.add(e);
            }
        }
    }
}

复杂度

懒汉式Prim算法在最坏的情况下时间复杂度为E logE，空间复杂度是E。

饿汉式Prim

饿汉式Prim的基本思想就是给每一个尚未增加到MST的顶点都仅仅记录一个最短的。连接MST的边。

由于仅仅记录一个边。所以计算量略微降低了一些。

Prim算法中须要用到优先级队列。依据优先级队列的实现方式。算法复杂度也有所差异。假设用二叉堆方式进行时间。那么它的时间复杂度就是E logV，假设用数组方式实现。那么这样的算法的复杂度就是V^2。

对于边数许多的图，使用数组方式时间优先级队列能够提高算法性能，对于边数较少的图，使用二叉堆方式实现优先级队列能够获得较高的性能。