【洛谷 P4342】[IOI1998]Polygon（DP）

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题意不再赘述。

这题和合并石子很类似，但是多了个乘法，而乘法是不满足“大大得大”的，因为两个非常小的负数乘起来也会很大，一个负数乘一个很大的整数会很小，所以我们需要添加一维状态，保存最大值和最小值。

\(f[i][j][0]\)表示第\(i\)个到第\(j\)个合并后的最大值，\(f[i][j][1]\)表示最小值。如果是乘法，更新时用最大值和最小值都乘一遍就行了。

还有就是，破环成链复制一倍，这样就不用枚举砍掉哪条边了，如果结果是\(f[1][n][0]\)，那么砍掉的肯定是\(n-1\)这条边，以此类推。

总时间复杂度\(O(n^3)\)

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
#define INF 2147483647
const int MAXN = 100;
int n, f[MAXN << 1][MAXN << 1][3], a[MAXN], ans;
char op[MAXN << 1];
int main(){
    cin >> n;
    cin >> op[n];
    for(int i = 1; i < n; ++i)
       cin >> f[i][i][0] >> op[i], f[i][i][1] = f[i][i][0];
    cin >> f[n][n][0], f[n][n][1] = f[n][n][0];
    for(int i = n + 1; i <= (n << 1); ++i) //复制一倍
       f[i][i][0] = f[i][i][1] = f[i - n][i - n][0], op[i] = op[i - n];
    for(int l = 2; l <= n; ++l)    //枚举长度
       for(int i = 1; i <= (n << 1); ++i){  //枚举最短点
          int j = i + l - 1;    //算出右端点
          f[i][j][1] = INF;    //赋初值INF和-INF
          f[i][j][0] = -INF;
          for(int k = i; k < j; ++k){  //枚举中间数，更新答案
             if(op[k] == 't')
               f[i][j][0] = max(f[i][j][0], f[i][k][0] + f[k + 1][j][0]),
               f[i][j][1] = min(f[i][j][1], f[i][k][1] + f[k + 1][j][1]);
             else
               f[i][j][0] = max(f[i][j][0], max(f[i][k][0] * f[k + 1][j][0], f[i][k][1] * f[k + 1][j][1])),
               f[i][j][1] = min(f[i][j][1], min(f[i][k][0] * f[k + 1][j][0], f[i][k][1] * f[k + 1][j][1]));
          }
       }
    for(int i = 1; i <= n; ++i)   //记录砍掉哪些边可以得到最大答案
       if(f[i][i + n - 1][0] > ans)
         ans = f[i][i + n - 1][0], a[a[0] = 1] = i;
       else if(f[i][i + n - 1][0] == ans)
         a[++a[0]] = i;
    printf("%d\n", ans);
    for(int i = 1; i <= a[0]; ++i)
       printf("%d ", a[i]);
    return 0;
}