洛谷P1137 旅行计划 解题报告(拓扑排序+DP)

我看了一下其他大佬的题解，大部分都是拓扑排序加上DP。那么我想有的人是不明白为什么这么做的，拓扑排序有什么性质使得可以DP呢?下面我就提一下。

对一个有向无环图(Directed Acyclic Graph简称DAG)G进行拓扑排序，是将G中所有顶点排成一个线性序列，使得图中任意一对顶点u和v，若边(u,v)∈E(G)，则u在线性序列中出现在v之前。 （源自百度）

通俗的说就是，一张有向无环图的拓扑序可以使得任意的起点u,它的一个终点v，在序列中的顺序是u在前v在后

我下面先附上代码，然后在继续说明

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn=100000+15;
int n,m,sum,tot;
int head[maxn],ru[maxn],ts[maxn],dp[maxn];
struct EDGE
{
    int to;int next;
}edge[maxn<<2];
void add(int x,int y)
{
    edge[++sum].next=head[x];
    edge[sum].to=y;
    head[x]=sum;
}
void topsort()
{
    queue <int> q;
    for (int i=1;i<=n;i++)
    if (ru[i]==0) {
    q.push(i);
    ts[++tot]=i;
}
    while (!q.empty())
    {
        int u=q.front();q.pop();
        for (int i=head[u];i;i=edge[i].next)
        {
            int v=edge[i].to;
            ru[v]--;
            if (ru[v]==0) {
            q.push(v);ts[++tot]=v;
        }
        }
    }
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        int u,v;
        scanf("%d%d",&u,&v);
        add(u,v);
        ru[v]++;
    }
    topsort();
    for (int i=1;i<=n;i++) dp[i]=1;
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        int u=ts[i];
        for (int j=head[u];j;j=edge[j].next)
        {
            int v=edge[j].to;
            dp[v]=max(dp[v],dp[u]+1);
        }
    }
    for (int i=1;i<=n;i++)
    printf("%d\n",dp[i]);
    return 0;
}

　　

仔细看DP部分，还记得DP需要满足什么原则吗？无后效性。如果不是在拓扑序中进行DP,会完全破坏无后效性（当然这也下面为什么有人用记忆化搜索的原因，记忆化搜索同样可以解决无后效性的问题）。正是因为拓扑序u在前,v在后的性质，这才选择使用拓扑排序，毕竟它的代码实现很轻松，而且运行时间也不差。

至于怎么求拓扑序，就是把入度为0（就是没有边把它作为终点）的点入队，并加入拓扑序。之后断掉以这个点为起点的边，即将这些边的终点的入度减一，直到队为空就好。

那么就是这些了，希望对大家有帮助